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《哈尔滨工程大学》 2012年
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叁类双曲型方程高能问题的适定性研究

秦兰兰  
【摘要】:本文研究了三类四阶双曲型方程的高能问题,高能问题目前在国际上的结果很少,是一个新兴的领域.本文较为精细的论证了在H01(Ω)空间中具有非线性应变项的四阶波动方程解的结构和性质,对物理和工程中的同类问题模型有一定的理论指导作用. 本文首先研究了一类具有耗散项和非线性应变项的四阶波动型方程的高能问题.四阶波动方程是用来描述弹塑性-弱非线性分析模型弹塑性杆的纵向运动,后来它被频繁地应用在弹性杆的振动模拟实验中.此方程含有阻尼项ut,高能时证明不变集合需要证明函数H'(t)单调递增,进而需要证明H"(t)0,而在证明过程中H"(t)=-2I(u)-2γ(ut,u)+2‖ut‖2,其中-2I(u)0和‖ut‖20,但是-2γ(ut,u)无法判断正负,从而不能得到H"(t)0,此难点一.此方程含有的应变项(?),在证明方程解的有限时间爆破时需要在方程的两边和u做内积,就会出现(?)无法化简,此难点二.在低能E(0)d的状态下证明方程解有限时间爆破的方法即反证法,是通过导出J(u(t0))≥d与J(u(t0))≤E(0)d相矛盾得到的.但,在E(0)0的情况下此矛盾显然是不成立的,此难点三.本文成功的解决了以上难点,利用Fourier变换得到了相应问题的能量守恒式,并且对于具有正定能量的情形给出了对应的位势井的相关性质和解的不变集合.结合凸性方法本文证明了高能情况下解的有限时间爆破. 其次,本文研究了一类带有源项的四阶双曲型方程的高能问题.此方程含有非线性广义源项,推广了本文第一个方程的结果.处理应变项以及证明不变集合是此方程的难点.本文引入了位势井理论,利用凸性方法,证明了在某些初值下解的不变集合和解在正定能量下的有限时间爆破. 最后,本文研究了一类四阶强阻尼非线性波动方程的初边值问题.此方程含有强阻尼项△ut,目前含有强阻尼项的结果很少.原因在于应用凸性方法证明低能爆破时,定义辅助函数M(t),需要证明M(t)0,而含有强阻尼项就在处理的过程中出现了M(t)=2||υt||2-2I(υ)-2α(υ,△υt),其中-2I(u)0和‖ut‖20,但是-2α(υ,△υt)无法判断正负,不能得到M(t)0,此难点一.临界时证明解的不变集合的方法即反证法,需要通过得到(υ(t0),υt(t0))0导出矛盾‖u(t0)‖≠0,而含有强阻尼项时得到2(υ(t0),υt(t0))-2α(υ(t0),△υt(t0))无法判断正负,不能导出矛盾‖u(t0)‖≠0,此难点二.在低能E(0)d的状态下证明方程解有限时间爆破的方法即反证法,是通过导出J(υ(t0))≥d与J(υ(t0))≤E(0)d相矛盾得到的.但,在E(0)0的情况下此矛盾显然是不成立的,此难点三.本文成功的突破了以上难点,引入位势井和位势井族,证明了低能时解的有限时间爆破,以及临界时方程解的整体存在性,渐近行为和有限时间爆破.同时,本文利用了凸性方法证明了在a=0的情况下解的高能爆破.
【学位授予单位】:哈尔滨工程大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O175.27

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