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《哈尔滨工程大学》 2016年
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分数阶微分方程边值问题的无穷解研究

张继春  
【摘要】:分数阶微分方程是非整数阶常微分方程的泛化。这种泛化不仅仅是数学上的变化而且在科学与工程的很多领域,例如粘弹性学、电路学和单神经元模拟等有很多应用。分数阶微分方程在一定程度上是为了刻画一些不能被整数阶微分方程定义的现象。在物理学领域,例如黏弹性学,扩散学,控制理论,弛豫理论和工业模拟试验中,分数阶微积分和分数阶微分方程均有着不同程度的应用。近年来通过非线性分析的手段,例如不动点理论(例如Leray-Schauder非线性变换),拓扑度理论(重合度理论),比较学方法(例如上下解方法、单调迭代法),非线性分数阶微分方程的解的存在性和多解性问题有了突破性进展。然而,上述方法对于讨论分数阶微分方程边界值问题有着诸多缺陷,同时,与其等价的积分方程并不易获取。因此,我们需要其它更加有效的方法来研究此类问题。本文将对光滑的分数阶微分方程和非光滑的分数阶微分方程两类分数阶微分方程的无穷解进行研究。我们将利用变分方法和临界点理论分别对这两类方程给出在零点附近满足振荡条件且能量趋近于零的解,以及无穷多个在无穷远处满足振荡条件且能量趋近于无穷的解。具体工作如下:第一章介绍了分数阶微分方程的相关背景以及研究现状。第二章介绍了分数阶微分方程的相关理论,介绍了变分方法、临界点理论、广义导数及微分包含理论。第三章我们提出了光滑的分数阶微分方程分别在零点和无穷远点解的存在情况,分别给出定理并采用临界点理论加以证明。第四章对非光滑的分数阶微分方程也分别在零点和无穷远点讨论解的存在情况并给出证明。
【学位授予单位】:哈尔滨工程大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O175.8

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