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《复旦大学》 2012年
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利用径向基函数进行微分方程数值解的动点算法研究与应用

高钦姣  
【摘要】:近几十年来,径向基函数的逼近能力有目共睹.基于它的优良性质,上世纪80年代以来人们开始用径向基函数处理微分方程数值解问题,也就是无网格径向基函数法.最早使用径向基函数做微分方程数值解的是用径向基插值.但这样做的缺点是每次求解过程中涉及大型方程组的求解问题,也就是大规模矩阵的求逆问题.为了避免这个问题,90年代Wu等利用径向基函数的拟插值(如MQ拟插值)求解微分方程. 利用MQ拟插值方法时固定时间层上任意点的函数值都是已知的.由于MQ拟插值在节点选取上的优越性,Wu利用MQ拟插值做自适应微分方程数值解法,在求解激波等大曲率曲线时效果良好.本文在此基础上给出新的动点算法. 首先,第一二章对本文的主要内容和预备知识做了简要介绍.介绍了径向基函数和微分方程数值解的发展历史,动点算法的背景知识以及基于偏微分方程的图像分割方法的背景知识. 第三章对Huang提出的几种移动网格偏微分方程(MMPDE)方法进行了分析.我们给出了这几种MMPDE的收敛条件和收敛阶,并给出几种新的MMPDE第四章我们给出了一个动点方程.我们给出了算法和误差估计.基于误差估计我们证明了新的动点算法的稳定性和网格缠绕问题.数值结果表明我们的方法能处理更陡峭动荡的偏微分方程. 基于MQ拟插值在微分方程数值解中的良好应用,尤其是对激波和大曲率的问题也具有良好的拟合能力,第五章我们应用MQ拟插值拟合边缘检测模型.与水平集方法相比,我们的方法具有拟合时间短以及描述精确的优点. 第六章讨论MQ拟插值在微分方程数值解中的应用.应用一种MQ拟插值(?)D解决了一个既具有理论意义又具有广泛应用的经典方程Burgers-Fisher方程,结合它的解析解,我们给出了本方法的误差估计并与B样条拟插值方法进行了比较.实验结果表明,我们的方法不仅简单,易操作,而且拟合方程的效果好. 第七章我们对目前工作做了一个总结,给出了我们未来的工作方向.
【学位授予单位】:复旦大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O241.8

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