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《复旦大学》 2012年
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拟插值的若干理论及其应用

高文武  
【摘要】:拟插值在函数逼近理论及其应用中起着重要的作用.拟插值的一个最大优点在于它不需要求解任何线性方程组就能够直接给出逼近函数.而且,一些拟插值甚至还具有保形性(例如MQ拟插值、B-样条拟插值等).另外,和插值相比,拟插值还具有计算稳定、计算量小等其它优点.特别地,当采样信息含有噪声时,拟插值还能够过滤噪声.因而,拟插值无论在理论上还是在实际应用中都受到了广泛的研究. 但是,大多数对拟插值的研究往往针对采样信息是离散函数值(或离散函数值的有限个线性组合)的情形.由于在实际应用中,采样信息通常更多的是线性泛函信息(某种微分方程右端项的离散值)而不是离散函数值(例如方程数值解、遥感、地震数据等).因此,为了使得拟插值能够应用到更多领域,讨论针对线性泛函信息的拟插值将更有意义. 另一方面,当用拟插值求解微分方程数值解时,往往需要用拟插值逼近高阶导数.这将降低数值解的逼近阶.因此,为了得到具有高阶逼近阶的数值解,就需要构造这样的一个拟插值格式:它可以由方程右端项的离散值及边界条件(初始条件或者其它的条件)直接给出方程的数值解,而不需要逼近高阶导数. 基于以上两点,本论文重点研究针对线性泛函信息的拟插值的构造及其应用. 我们构造一个针对线性泛函信息的拟插值格式并给出它的误差估计.根据误差估计,可以找到一个拟插值算子,使得它能够提供与微分方程右端项的光滑阶一致的最佳逼近阶. 作为应用,我们用它分别去求解微分方程数值和构造动力系统中的Lyapunov函数. 理论和数值结果都表明这个格式能够克服无网格配置法的缺陷:求解大型线性方程组、计算不稳定等. 在一些场合,采样信息往往具有周期性,例如信号处理、医学图像处理等.这时,显然用周期函数来拟合这种信息将更加合理. 三角B-样条拟插值可以拟合周期采样信息.但是,由于三角B-样条拟插值以三角B-样条基为核函数,它的光滑阶低.因此,如果用三角B-样条拟插值来逼近高阶导数,就需要用高阶的三角B-样条基为核函数.这即意味着需要计算高阶的广义差商,从而导致计算不稳定. 为了克服三角B-样条拟插值的缺陷,本论文最后构造了一个无穷次光滑的周期拟插值格式.这个格式不仅可以拟合周期采样信息,而且还可以逼近高阶导数.另外,由于这个格式的核函数的构造只需要二阶广义差商,它避免了高阶广义差商的不稳定性. 作为应用,我们用它分别逼近一个函数自身、一阶导数、二阶导数,以及求解与时间有关的偏微分方程.数值结果表明我们构造的拟插值格式不仅能够很好地逼近函数,而且对导数也有较好的逼近性质.
【学位授予单位】:复旦大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O174.41

【参考文献】
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