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《复旦大学》 2003年
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复杂系统中的若干理论问题及其应用

林伟  
【摘要】: 本文分成六章.第一章中,我们首先从分别从混沌动力学研究中关于混沌的 几种不同的数学定义、混沌度量、横截同宿点、奇异吸引子等若干方面,介 绍了混沌理论的发展历史及现实状况,指出了研究混沌理论的必要性.同时, 我们对生物神经学中数学建模的发展作了介绍,阐述了用动力学的方法研究其 中数学模型的重要性. 在本文的第二章中,我们首先几何地解释了马罗陀定理证明中存在的问 题,论证并且给出了在欧氏范数下、 1-范数下多种关于马罗陀定理具体应用 的判别方法;同时,着重探讨了离散的非线性映射在具有马罗陀意义下混沌之 后,所具备的一些性质。这些性质涉及到该非线性映射在不变集上与符号动 力系统中的有限型移位算子的拓扑共轭关系、非线性映射排斥回归子与周期 点在不变集中的稠密性、非线性映射的拓扑熵值与李亚普诺夫指数值的大小估 计、Zeta函数的具体表达式等等。此外,我们还进一步探讨了马罗陀意义下 混沌的非线性混沌映射受到扰动后与马蹄映射意义下混沌的关系。在本章最 后,我们给出了类似于马罗陀定理的另一条关于混沌的判据--排斥异宿子意 味着混沌. 在本文的第三章中,我们建立了脉冲微分方程中的两类混沌模型,一类利 用映射的扰动理论证明了系统随着参数变化时具有不同意义的混沌动力学行 为; 另一类则利用勒贝格可测的概念给出了脉冲微分方程中所特有的关于脉冲 间期函数初值敏感的定义, 同时理论证明了在一类脉冲微分方程中确实如新定 义所描述的复杂动力学行为. 对于这两类模型,我们都给予了数值模拟以进一 步说明给出的两类模型具有混沌或复杂动力学行为。接着,我们探讨了一般的 动态神经元的数学模型与脉冲微分方程的表示关系;对一种能用来模拟动态神 经元动力学行为的整合-激发电路的模型作了分析,我们构造了合理的时间映 射,分析了时间映射所具有的性质,并给出了该时间映射是马罗陀意义下混沌 的相应参数选取的具体算法与表示式。并通过计算机数值计算论证了我们给出 摘 要 的具体参数范围并非空集;尔后,我们还将第二章中得到的不变集的性质运用 于该时间映射之中;最后,我们给出了相应的数值模拟以进一步说明理论证明 的有效性和正确性. 在本文的第四章中,我们首先介绍了离散混饨神经元、神经网络模型由来 与具体的数学模型,依次给出了该离散神经网络的中不动点存在性与惟一性的 分析:稳定性与不稳定性的分析;神经元模型的分枝分析;神经网络中马罗 陀意义下混3屯动力学的分析.在本章中,我们给出理论结果的证明中分别利用 了Schauder不动点原理、新的李亚普诺夫函数的构造、分枝的一般理论、压 缩映像原理以及反向可积极限方法.而这些结果都不是以连接权矩阵具有对称 性作为前提,所以部分结果涵盖了原有的在对称连接权矩阵条件下的前人的一 些结果. 在本文的第五章中,我们给出了一类一维时滞泛函微分方程稳定性的判别 法,而这一方程本身可以用来刻画连续的具有动态阈值的神经元模型;此外, 我们介绍了非线性指标在心律变异中的具体应用与部分的分析结果,以进一步 说明非线性分析在心律变异研究中的有效性和实用性. 本文最后在总结的基础上对正在或者将要考虑的问题给予了说明。其中包 括时变系统的混饨及相关性质的探究;脉冲方程组中耦合问题探讨等等。
【学位授予单位】:复旦大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2003
【分类号】:O415.5

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