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一类拟线性抛物方程的定性研究

潘佳庆  
【摘要】:本文以a(u)=1/mu~m(m∈R)为模型,讨论一维拟线性抛物方程u_t=(a(u))_(xx)的初值问题和几类混合初-边值问题的解关于初值和方程的非线性性质(m值的大小)的连续依赖性,也讨论几类混合初-边值问题解的存在性以及解的生命跨度。 在初值问题的情形,本文证明:当m≤-1时,初值问题无对x为L~1(R)可积的解;当m>-1时,有 (1)(?)∫_R|u(x,t,m)-u(x,t,m_0)|dx=0,(?)t≥0; (2)(?)|u(x,t,m)-u(x,t,m_0)|=0关于|x|≤l一致成立,其中l,t是任意固定的正数; (3)(?)|u(x,t,m)-u(x,t,m_0)|=0关于(x,t)∈[-l,l]×[(?),T]一致成立,其中l,T是任意固定的正数,-1<m_0<1,0<(?)<T; (4)∫_0~T∫_R|u(x,t,m)-u(x,t,m_0)|~2dxdt≤C~*|m-m_0|,其中m,m_0>0,而C~*为一正常数; (5)∫_Ru(x,t,m)dx=∫_Ru_0(x)dx,(?)t≥0; (6)∫_R|u(x,t,m)-(?)(x,t,m)|dx≤∫_R|u_0(x)-(?)_0(x)|dx,(?)t≥0。 在混合初-边值问题的情形,本文证明:对于m∈R,具Neumann边界条件的问题存在唯一的整体解u(x,t,m),并且 (?)|u(x,t,m)-u(x,t,m_0)|=0 (?)t>0,关于x∈[0,1]一致成立,m_0∈R。同时,类似于初值问题的性质(4)、(5)、(6)关于m∈R亦成立。对于其它具非线性边界条件的边值问题,本文不仅证明了解的存在唯一性,而且对一个具体问题定量地计算出了解的生命跨度(0,T_0)。 在7n1的情形,如果初值。。)O,则定解问题在艺二O的附近存在本质 的奇性,本文对不同的问题采取了不同的方法克服了奇性的困难.


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