一类拟线性抛物方程的定性研究

【摘要】：本文以a(u)=1/mu~m(m∈R)为模型，讨论一维拟线性抛物方程u_t=(a(u))_(xx)的初值问题和几类混合初-边值问题的解关于初值和方程的非线性性质(m值的大小)的连续依赖性，也讨论几类混合初-边值问题解的存在性以及解的生命跨度。 在初值问题的情形，本文证明：当m≤-1时，初值问题无对x为L~1(R)可积的解；当m＞-1时，有 (1)(?)∫_R｜u(x，t，m)-u(x，t，m_0)｜dx=0，(?)t≥0； (2)(?)｜u(x，t，m)-u(x，t，m_0)｜=0关于｜x｜≤l一致成立，其中l，t是任意固定的正数； (3)(?)｜u(x，t，m)-u(x，t，m_0)｜=0关于(x，t)∈[-l，l]×[(?)，T]一致成立，其中l，T是任意固定的正数，-1＜m_0＜1，0＜(?)＜T； (4)∫_0~T∫_R｜u(x，t，m)-u(x，t，m_0)｜~2dxdt≤C~*｜m-m_0｜，其中m，m_0＞0，而C~*为一正常数； (5)∫_Ru(x，t，m)dx=∫_Ru_0(x)dx，(?)t≥0； (6)∫_R｜u(x，t，m)-(?)(x，t，m)｜dx≤∫_R｜u_0(x)-(?)_0(x)｜dx，(?)t≥0。 在混合初-边值问题的情形，本文证明：对于m∈R，具Neumann边界条件的问题存在唯一的整体解u(x，t，m)，并且 (?)｜u(x，t，m)-u(x，t，m_0)｜=0 (?)t＞0，关于x∈[0，1]一致成立，m_0∈R。同时，类似于初值问题的性质(4)、(5)、(6)关于m∈R亦成立。对于其它具非线性边界条件的边值问题，本文不仅证明了解的存在唯一性，而且对一个具体问题定量地计算出了解的生命跨度(0，T_0)。 在7n1的情形，如果初值。。)O，则定解问题在艺二O的附近存在本质 的奇性，本文对不同的问题采取了不同的方法克服了奇性的困难.