非线性弹性动力学方程组的外问题

【摘要】：本文讨论非线性弹性动力学方程组的外问题。非线性弹性动力学方程组是一个具有重要理论意义与应用价值的模型。许多著名的数学家的工作都涉及到这一领域。但目前关于方程组的工作主要局限于Cauchy问题。F．John于1988年利用线性弹性动力学方程组的基本解的估计证明了非线性弹性动力学方程组初值问题的经典解的几乎整体存在性。1996年，S．Klainerman和T．C．Sideris利用能量估计和Klainerman-Sobolev不等式证明了相同的结果。最近，R．Agemi和T．C．Sideris分别证明了非线性弹性动力学方程组满足零条件时此问题解的整体存在性． 下面对本文的结果作一简单介绍。 (1)证明了非线性弹性动力学方程组外问题经典解的局部存在性。为了证明这一结果，还利用线性发展算子及积分-微分方程的方法，证明了具有(属Sobolev空间中的)变系数的二阶线性双曲型方程组外问题解的存在性。 (2)证明了非线性弹性动力学方程组Cauchy问题经典解的几乎整体存在性，并给出解的生命区间的下界。这个结果虽然不是新的，但我们所用的方法及所得到的估计是不同的。这些估计是外问题讨论中所需要的。 (3)讨论了非线性弹性动力学方程组在星形域外的Dirichlet型初边值问题，对具有小初值情况，证明了该问题经典解的几乎整体存在性，给出解的生存区间的下界。这是本文的主要结果。 (4)用更简单的方法导出了与[1]中相同的非线性弹性动力学方程组的零条件，进而证明了[1]和[33]中的零条件的等价性。