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《复旦大学》 2005年
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偏微分方程的无网格区域分解方法

段勇  
【摘要】:在这篇论文中我们将结合径向基无网格方法和不重叠区域分解方法求解二阶椭圆型偏微分方程。传统的不重叠区域分解方法主要有Dirichlet-Neumann方法,Neumann-Neumann方法,Robin方法等。径向基无网格方法则包括配置法和Galerkin方法,配置法在数值计算上比Galerkin方法好,但其理论基础却不完善,比如配置矩阵的可逆性等。Galerkin方法最大的问题是本质边界条件的处理,而Dirichlet-Neumann区域分解后必然有Dirichlet问题的求解,本文采用Cai等提出的罚方法处理Dirichlet问题,同时我们也将讨论利用Lagrange乘子处理Dirichlet问题。通过对无网格Dirichlet-Neumann区域分解方法和Robin方法的分析,我们发现在径向基无网格方法下,Dirichlet-Neumann迭代的收敛阶依赖于密度h,并且每一步所求解的线性方程组的条件数都很大,这些都会影响加速参数的选取。于是我们就考虑是否有不需迭代,对Helmhotz方程的Neumann问题作分解后不会出现本质边界条件,并且有收敛阶估计的区域分解方法,在这种要求下,我们将讨论无网格投影区域分解方法,这种方法是从另一个角度解释有限元或谱配置情况下的投影区域分解方法。本文的主要内容包括: 1.用Lagrange乘子法和边界罚的方法处理Dirichlet问题和混合问题,我们将给出收敛性分析和数值例子来说明该方法的有效性。 2.配置法的讨论,主要是给出配置矩阵的条件数的理论估计,从理论估计可以看出该方法会导致条件数很大的代数方程组的求解。 3.传统的不重叠区域分解方法同径向基无网格方法的结合。我们将给出分别基于配置法和Galerkin方法的Dirichlet-Neumann方法的收敛性讨论和数值例子,考虑到径向基无网格方法在处理本质边界条件需要一定的技术处理,我们也将尝试Robin方法。 4.从径向基无网格方法对边界条件的需求出发,为了避免迭代和在每一步都处理本质边界条件,我们提出了一种改进的适合径向基无网格方法的投影区域分解方法,对Helmholtz
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