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非线性发展方程及方程组整体解的渐近性态

吴昊  
【摘要】: 非线性发展方程的整体解的渐近性态,特别是整体解当时间趋于无穷大时是否趋于某个平衡态(Equilibrium)(或者稳态问题的解Stationary Solution),是非线性发展方程研究的一个基本问题。对于数学以及其他自然科学分支(例如物理、力学、材料科学、化学等)中提出的各类非线性发展方程的整体解的存在唯一性及其大时间渐近性态的研究具有理论上和实际上的重要意义,并有广泛的应用。 在空间维数为1时,关于解对平衡态的收敛性的研究已经有了很大的进展,例如1978年,Matano[95]证明了如果非线性抛物型方程的整体解是一致有界的,则当时间趋于无穷大时,该整体解将收敛到某个稳态问题的解(也见[34,134,136]等)。然而,在高维的情形下情况要复杂的多。对于梯度系统,其整体解对应的ω-极限集是方程相应的稳态问题解集(平衡态全体)的连通子集。如果稳态问题的解集是离散的,则易证ω-极限集是一个单点集(例如[29])。但是,当空间维数大于1时,非线性发展方程对应的平衡态(稳态问题的解)的集合往往不是离散的,甚至可以是一个连续集(例如A.Haraux[65])。另一方面,P.Pola(?)ik F.Simondon[105]中给出的一个反例表明,当空间维数大于1时,存在半线性的抛物型方程,其非线性项甚至为无穷次可微函数的情况下,该方程的有界整体解的ω-极限集与单位圆同胚(非线性项为C~m函数,m是任意整数的情形见[104])。文献中已经有大量的工作试图在不同的假设下证明高维的非线性发展方程的整体解对平衡态的收敛性。特别的,1983年,L.Simon [117]证明了如果一个非线性抛物型方程,它的非线性项关于未知函数是解析的,则其整体解当时间趋于无穷大时将收敛到某个平衡态。Simon的基本想法是将波兰数学家S.Lojasiewicz著名的关于有限维空间上解析函数的梯度不等式推广到无限维空间上,并运用该Lojasiewicz-Simon不等式证明收敛性结果。在Simon作出的重大突破之后,国际上有大量的工作致力于各类非线性发展方程整体解当时间趋于无穷大时对平衡态的收敛性的研究。然而,此前的工作大多是关于具有齐次的(Dirichlet)边界条件的非线性发展方程。对于具有重要实际物理意义的一系列具有动力边界条件以及其他边界条件的非线性发展方程(组),现有文献中的研究框架以及起关键作用的Lojasiewicz-Simon不等式不再适用。 本学位论文在非线性项关于未知函数是解析的这个基本假设下,首次对一系列具有复杂的动力边界条件以及其他边界条件的非线性发展方程及方程组的整体解当时间趋于无穷大时对平衡态的收敛性质进行研究。此前文献中未见有这方面的研究结果。 具体的,本文的主要内容如下: 第一章绪论,简要回顾问题的背景,研究现状及我们证明的思想和方法。介绍了本文考虑的问题的特点、数学上的困难以及本文工作的创新之处。最后,简要列举了必要的一些基本知识和常用不等式; 第二章,考虑具有动力边界的Cahn-Hilliard方程; 第三章,考虑具有耗散边界条件(动力边界条件)及临界增长指数的半线性波动方程; 第四章,考虑具有动力边界条件的半线性抛物型方程; 第五章,考虑具有Neumann边界(第一节)以及动力边界条件(第二节)的抛物-双曲耦合Phase-Field方程组。 对于任意给定的初始数据(而非对某个平衡态的小扰动),我们在证明了上述方程及方程组整体解的存在唯一性的基础上,导出问题相应的Lojasiewicz-Simon类型不等式,从而进一步证明其整体解当时间趋于无穷大时对某个平衡态(稳态问题的解)的收敛性,并给出收敛速率的估计。 下面简要列举本论文中所考虑问题的特点、新的数学困难以及本文工作的主要贡献(详细内容见第一章): (1)我们考虑了具有动力边界条件的发展方程(组)。该动力边界条件具有物理上的重要实际意义。从数学的角度来看,由于动力边界条件对于相应的稳态问题应看作是非齐次的(边界上含有未知函数关于时间的导数项),以往文献中关于齐次边界条件情形下的Lojasiewicz-Simon不等式无法应用到我们所考虑的问题。本文在国际上首次证明了具有边界项(对应于非齐次边界)的Lojasiewicz-Simon不等式,从而进一步得到所期望的收敛性结果。这些结果为此前的文献中所未见。 (2)在使用Simon的想法证明解对平衡态的收敛性时,对于双曲型方程及包含双曲型方程的方程组,我们需要对不同的方程(组)对应的Lyapunov泛函加上适当的扰动项来构造一个新的辅助泛函来完成主要定理的证明。 (3)关于对平衡态的收敛速率,以往只有少量文献涉及。本文中通过细致的能量估计,对所考虑的问题,均得到了收敛速率的估计。特别的,我们在文献中首次给出了Cahn-Hilliard方程以及Phase-Field方程组解对平衡态的收敛速率的估计。 (4)我们考虑的双曲型方程的解不具有与抛物型方程的解类似的光滑性。当非线性项具有临界增长指数时,我们不再能够利用Webb [125](也见[30])关于具有次临界增长非线性项的发展方程解的紧性的结果。 值得指出的是,本文中的新的方法技巧以及推广的Lojasiewicz-Simon不等式可以进一步应用到其他非线性发展方程的整体解对平衡态的收敛性的研究。


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