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《复旦大学》 2007年
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拉格朗日子流形几何及相关问题

韩英波  
【摘要】: 本文主要研究了拉格朗日子流形几何及相关问题,主要内容包括伯恩斯坦型定理、特殊拉格朗日子流形的扭曲法丛构造、哈密尔顿极小拉格朗日子流以及具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形。 标准的伯恩斯坦定理是说三维欧氏空间中的整体极小图是平面。更为精确地说,设z=f(x:y)是定义在2-维欧氏空间R~2上的整体的光滑函数,如果图∑=(x,u,f(x,y))是3-维欧氏空间R~3中的极小曲面,则函数f是一个线形函数,即图∑是一个平面。在余维数为1的情况,这个结果以被推广到(n+1)-维欧氏空间中(n≤7),以及在某种增长性限制下,这个结果被推广到任意维数欧氏空间中,这些结果可以参考[17]及其参考文献中所提到的文献。对于高余维数的情况变得比较复杂。由于LawsonOsserman在[31]中所提出的反例,我们不能希望有关高余维的Bernstein型定理在最一般的情况下是正确的。因此,我们必须在某种适当的条件下来建立有关高余维情况的Bernstein型定理。近年来,有关具有高余维数的极小子流形和特殊拉格朗日子流形的伯恩斯坦型定理在[23],[24],[39],[41]和[43]取得了显著的进展。这几篇文章中的主要思想是寻找一个适当的次调和函数,然后利用极值原理说明所找到的次调和函数为零,从而说明极小图是全测地的。我们也采取相应的思想,得到一些四元数欧式空间中有关极小拉格朗日的伯恩斯坦型定理。 我们知道特殊拉格朗日子流形的例子对研究此类特殊的子流形是非常重要的意义。因此,近年来有不少研究者通过多种方法构造一些有关特殊拉格朗日子流形的重要例子。例如,R.Harvey和H.B.Lawson在[20]在复欧氏空间C~n中给出了特殊拉格日子流形的一些具体例子,特别地,他们通过余法丛构造了一类特殊拉格朗日子流形。D.Joyce在[25],[26],[27]和[28]中构造了一些有关特殊拉格朗日子流形的具体例子。A.Borisenko在[1]对R~3中的极小曲面通过扭曲法丛构造在T~*月R~3中构造了一类扭曲的特殊拉格朗日子流形,他所用的方法是对[20]中余法丛构造的一种推广.R.L.Bryant在[3]给出了C~3中一种扭曲特殊拉格朗日子流形,他的这种构造方式和[1]中的构造方式是两种不同的扭曲构造方式。我们也通过扭曲法丛的构造得到许多特殊拉格朗日子流形的具体例子。 除了对特殊拉格朗日子流形的关注以外,近年来关于极小拉格朗日子流形的推广形式也有一些研究工作.Y.G.Oh在[33]和[34]中最先引进的哈密尔顿极小拉格朗日子流形,此类子流形式是对极小拉格朗日子流形一种很好的推广,同时他对此类子流形作了相应的研究。在[14],[16],[21],[22],[9],[30]和[32]中,作者采用对称约化或者可积系统方法在Kahler流形,特别是复空间形式中构造了哈密尔顿极小的拉格朗日子流形的例子。我们知道除了上述推广形式外,极小拉格朗日子流形还有另外一种很有意义的推广形式,即具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形。这类子流形中最经典的例子是在[42],[7]及[11]中所给出的Whitney球.A.Ros和F.Urbano在[37]详细研究了C~n中的具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形.X.L.Chao和X.Y.Dong在[12]也研究了复空间形式中具有共性Maslov形式的拉格朗日子流形,并证明了一个具有共性Maslov形式拉格朗日子流形的刚性定理.B.Y.Chen等在[5]中发展了一种非常有效的所扭曲积分解方法用来建立从实空间形式M~n(c)到复空间形式(?)~n(4c)的拉格朗日的等距浸入。后来,Y.M.Oh在[35]中利用他们的方法构建了很多此类的拉格朗日等距浸入的例子。我们从B.Y.Chen等所给出的拉格朗日子流形中得到很多哈密尔顿极小的拉格朗日子流形以及具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形。
【学位授予单位】:复旦大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O189.31

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