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《复旦大学》 2007年
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一类水波方程-BCL方程组的适定性

胡军其  
【摘要】: 在本文的第一章我们将介绍浅水波理论的一些基础知识,并且会给出BCL方程组的导出方法,主要用到渐进展开的技巧。可以看出,在一维情形下它们正是Bona-Chen-Saut方程组。其间,我们会简略的介绍一下这些水波方程的研究进展。 第二章将讨论2个空间变量的BCL方程组孤立波解。M.Chen给出1个空间变量的BCL方程组的孤立波解,我们采用类似的方法。首先通过行波约化将方程化为一个非线性非齐次常微分方程组,在垂直传播方向为稳态解的前提下,借助于M.Chen的方法给出这个方程组的一个孤立波解,从中我们可以看出色散项的显著作用。在垂直传播方向为非稳态解的情形下,这个常微分方程组变得非常的复杂,这个问题有待进一步研究。 第三章将讨论2个空间变量的BCL方程组具有守恒律所需要的条件。并在此基础上我们用解的局部延拓方法讨论这个方程组的整体适定性,给出解的正则性。由于守恒律并不是正定的,我们只能在适当小的初值情形下给出适定性。 第四章转而研究2个空间变量的BCL方程组在没有守恒律情形下的适定性问题。然而由于线性问题衰减不够,我们考虑有粘性的BCL方程组。我们使用了双曲方程中常用的把方程组对角化的办法,给出这个方程组的积分形式;然后给出算子必要的估计,其中我们使用了拟微分算子、调和分析等技术,类似的方法可以用于同类型的方程。最后构造一个函数空间,使得在小初值条件下这个方程组在这个空间中有解,这里使用了小初值整体迭代的技巧。当然为了克服导数损失,需要把频谱空间分位高中低频,得出更精细的估计。 第五章我们给出退化情形下BCL方程组的适定性,由于退化引起了解的存在空间的复杂化,这一章是第四章的延续。 在第五章中我们使用bootstrap方法给出前几章所研究方程组Cauchy问题解的正则性。
【学位授予单位】:复旦大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O175.2

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【共引文献】
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