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《复旦大学》 2008年
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复动力系统中某些问题的研究

肖映青  
【摘要】: 有理函数Julia集的拓扑是复解析动力系统研究的重要问题之一,多项式Julia集的连通性由于Branner-Hubbard猜想的证明[47]已得到较为完整的刻画.对于有理函数动力系统,二次有理函数的连通性也有较为完整的结论:由Shishikura关于周期稳定域个数的上界估计[50],二次有理函数没有Herman环,进一步,尹永成老师证明,二次有理函数的Julia集或者是连通的,或者是一个Cantor集([60],或者见[40]).Shishikura还证明由多项式的Newton迭代得到有理函数其Julia集总是连通的[51].但一般说来,有理函数Julia集的拓扑要比多项式情形复杂得多,例如,Milnor和TanLei(见[40])首次证明了存在下面形式的二次有理函数其Julia集是一条Sierpinski曲线(或称Sierpinski地毯);McMullen[38]研究了单项式z~n的有理扰动的Julia集,证明当1/n+1/d1且|a|充分小时,F_a(z)的Julia集是一个Cantor环,即同胚于Cantor三分集和单位圆周的乘积集.上述Julia集的拓扑结构在多项式情形都是不可能出现的. 对于二次有理函数族f_(λ,b)(z)的动力系统,Goldberg和Keen[33](对|λ|1情形)以及尹永成[61](对λ=1情形)已经有了较为深入的研究. 最近几年,McMullen所研究的函数族F_a(z)(现被称为McMullen族)引起了人们的极大兴趣,Blanchard,Devaney et.al.,Roesch,Steinmetz等(见[11,12,19-21,23-26,49,53,54])对这个单参数有理函数族F_a(z)的动力系统做了大量的研究,发现其Julia集有丰富的拓扑结构,它可以有Cantor集、Cantor环和Sierpinski曲线等拓扑结构.同时,他们对参数空间中的双曲分支和不稳定集的拓扑也进行了深入研究. McMullen函数族F_a(z)以∞和0为其两个临界点,其中∞是超吸引不动点,而0是唯一的极点,他们有非常简单的轨道.除此之外,F_a(z)还有n+d个单临界点,称为自由临界点,它们对称地位于临界圆周{|z|=(|a|d/z)~(1/(n+d))}上,并且其迭代像或者对称的分布在以原点为圆心的圆周上,或者是重合的,因此,它们的轨道同时趋于无穷远或同时有界,本质上F_a(z)可以看作只有一个自由临界点(或自由临界值).对于自由临界轨道趋于无穷远的情形,Devaney等[25]给出了一个关于F_a(z)的Julia集的拓扑的分类定理.设B是包含∞的Fatou分支,T是包含0的Fatou分支,则有 定理1.(Devaney et.al.)设McMullen函数族F_a(z)的自由临界轨道趋向无穷远,那么 (1)如果有一个自由临界值位于B中,则Julia集是一个Cantor集,函数F_a(z)限制在Julia集上共轭于n+d个符号所组成的符号空间上的移位映射. (2)如果有一个自由临界值位于T中,则Julia集是一个由拟圆周组成的Cantor环. (3)如果有一个自由临界值位于T的某个迭代逆像中,则Julia集是一条Sierpinski曲线. 已有的文献并没有讨论自由临界轨道有界时,F_a(z)的Julia集的拓扑,也没有讨论Julia集的连通性. 本文的第一部分主要研究单峰多项式P_b(z)=z~n+b的有理扰动所得到的双参数有理函数族的Julia集的拓扑.单峰多项式P_b(z)的动力系统是人们十分感兴趣的研究对象,有许多关于此的重要研究工作,例如[5,22,35,36]等,对其有理扰动得到的函数族F_(a,b)(z)的动力系统的研究也是人们感兴趣的,例如,Blanchaxd等[13]对n=2且参数b为某些特殊值时F_(a,b)(z)的动力系统进行了初步研究.我们将F_(a,b)(z)称为广义McMullen函数族.本文将对F_(a,b)(z)的Julia集的拓扑性质,特别是其连通性做一个比较完整的刻画. 与McMullen函数族类似,对广义McMullen函数族F_(a,b)(z),无穷远点∞是一个超吸引的不动点,并且是一个n-1阶的临界点;原点0是唯一的极点,并且还是n-1阶的临界点.我们同样记包含无穷远点的Fatou分支为B,包含原点的Fatou分支为T. F_(a,b)(z)还有2n个单临界点a~(1/2n),称为自由临界点,它们均位于临界圆周{|z|=|a|~(1/2n)}上.这些单临界点的像有两个,记为v_,v_+,称为自由临界值.与McMullen函数族不同的是,这两个自由临界值随着参数a,b的变化其轨道有完全不同的行为.因此,其动力学性质比McMullen族要复杂,研究其Julia集的拓扑要比McMullen族困难许多. 为讨论广义McMullen函数族F_(a,b)(z)的Julia集的连通性,我们首先讨论其Fatou分支中Herman环的存在性.已知二次有理函数没有Herman环[50],Bamon和Boben-rieth[6]证明有理函数gλ(z)=1+1/λz~d,ω∈C\{0},也没有Herman环.本文证明了 定理2.广义McMullen函数族F_(a,b)(z)的Fatou分支中没有Herman环. 进一步,我们按照自由临界值的轨道的行为,分三种情况研究F_(a,b)(z)的Julia集的拓扑:1.逃逸情形,即两个自由临界值的轨道均趋于无穷远点;2.半逃逸情形,即一个自由临界值的轨道趋于无穷远点,另一个自由临界值的轨道有界;3.非逃逸情形,即两个自由临界值的轨道均有界.记F_(a,b)(z)的Julia集为J_(a,b),我们得到 1.逃逸情形. 定理3.假设F_(a,b)(z)的两个自由临界值的轨道都趋于无穷远点,那么 (1)如果B=T,则两个自由临界值都位于B中,此时F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)是一个Cantor集. (2)如果B≠T,则 (2.1)当两个自由临界值位于不同的Fatou分支时,F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)是连通的.特别地,如果有一个自由临界值位于T中,此时J_(a,b)是一条Sierpinski曲线. (2.2)当两个自由临界值位于同一个Fatou分支时,F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)是不连通的,有无穷多个连通分支,每一个Fatou分支或者是单连通的,或者是二连通的.特别地,如果两个自由临界值都位于T中,此时J_(a,b)是由拟圆构成的Cantor环. 2.半逃逸情形. 记K_(a,b)={z∈C:F_(a,b)~n(z)(?)∞)表示函数F_(a,b)(z)的填充Julia集,这里,F_(a,b)~n(z)表示F_(a,b)(z)的第n次迭代.J_(a,b)=(?)K_(a,b)的包含F_(a,b)(z)的自由临界点的连通分支称为K_(a,b)的临界分支. 定理4.假设自由临界值v_的轨道趋于无穷,而自由临界值v_+的轨道有界,那么 (1)如果自由临界值v_不在B中,则F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)是连通的. (2)如果自由临界值v_位于B中,则B=T,F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)不连通.此时, (2.1)如果填充Julia集K_(a,b)每个临界分支都是是非周期的,则J_(a,b)是一个Cantor集. (2.2)如果K_(a,b)的某个临界分支是周期的,则该临界分支同胚于某个二次多项式的填充Julia集. 3.非逃逸情形. 定理5.假设F_(a,b)(z)的两个自由临界值的轨道都是有界的,那么 (1)如果每一个Fatou分支至多包含一个自由临界值,则F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)是连通的. (2)如果有一个Fatou分支D_1包含两个自由临界值,则F_(a,b)(z)的Julia集J_(a,b)不连通.此时,Fatou分支D_1必定是周期的,并且只有一个逆像D_0. (2.1)如果D_0的周期是1,那么它是完全不变的.此时Julia集J_(a,b)=(?)D_0,它由无穷多个互不相交、或不嵌套的拓扑圆周和不可数个单点的并组成. (2.2)如果D_0的周期大于1,那么D_0的边界由无穷多个互不相交的拓扑圆周和不可数个单点的并组成. 我们还给出了一些例子来说明上面定理中的各种情形是可能出现的. 本文的第二部分研究了多项式Julia集上的Chebyshev多项式.紧集上的Cheby-shev多项式在逼近论[7]、数值计算[45]、位势理论[3]等方面有重要应用.一般说来,求出给定紧集上的Chebyshev多项式是一件非常困难的事[32].1983年,Barnsleyet.al.[7]得到了二次多项式T_λ(z)=(z-λ)~2,λ∈C,的Julia集上的2~n-阶Chebyshev多项式.本文利用复动力系统的基本理论,我们得到了任意首一d次多项式的Julia集上的d~n-阶Chebyshev多项式. 设K是复平面C中紧集,称包含K的最小圆的圆心为K的几何中心. 定理6.设P是一个度为d≥2的首一多项式,则其Julia集J_P上的d~n-阶Chebyshev多项式为P~n(z)-c_P,其中c_P为Julia集J_P的几何中心。 对给定平面紧集K,研究C\K的无界分支上关于∞为奇点的Green函数所得到的等势线上的Chebyshev多项式也是人们感兴趣的问题.一个基本的问题是紧集K上的Chebyshev多项式和K的等势线上的Chebyshev多项式是否总是相等的?对于单位圆周、区间、甚或实轴上两个区间的并等紧集,回答是肯定的(见[4,28,46]).1996年,Stawiska[52]研究了二次多项式T_λ(z)=(z-λ)~2的Julia集的等势线上的2~n-阶Cheby-shev多项式,证明当λ∈[0,4]时,它和Julia集J_T上的2~n-阶Chebyshev多项式也是相等的. 为此,我们研究了一般多项式的Julia集的等势线上的Chebyshev多项式,我们得到 定理7.设P是一个度为d≥2的首一多项式,J_P是其Julia集,Γ_P(R)是其势为R0的等势线,则Γ_P(R)上的d~n-阶Chebyshev多项式为P~n(z)-c_(R,n),其中C_(R,n)是势为R~(d~n)0的等势线Γ_P(R~(d~n))(=P~n(Γ_P(R)))的几何中心. 由此我们看出如果c_(R,n)≠c_P,则Julia集J_P和其等势线Γ_P(R)上的Chebyshev多项式就不相等.我们给出了两者不相等的例子,同时,我们还给出了两者相等的一个充分条件. 最后,作为一个应用,我们利用Julia集上的Chebyshev多项式,对Brolin[17]关于Julia集的容量的估计给出了一个新证明.
【学位授予单位】:复旦大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:O174.14

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【参考文献】
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1 吕菁;双二次多项式动力学[D];复旦大学;2003年
【共引文献】
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