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算子范数局部化性质

王显金  
【摘要】: 非紧流形上的指标理论是上个世纪七十年代M.Atiyah和I.Singer在覆盖空间上椭圆算子的指标公式的研究基础上发展起来的一门新兴学科,其要点在于覆盖空间上的椭圆算子相对于它的基本群的约化群C~*-代数是广义的Fredholm算子。对于一些特殊的非紧流形上解析指标的研究,已经取得了一些进展,比如A.Connes和G.Skandalis建立起了叶状空间的指标理论;A.Connes和H.Moscovici建立起了齐次空间的指标理论及其覆盖空间的高指标理论,等等。但是解析指标的计算是一件异常困难的问题,大大阻碍了指标理论的发展。 事实上,非紧流形上广义椭圆算子的K-理论指标并不依赖于流形的局部几何,而是依赖于流形的大尺度几何结构。八十年代末,J.Roe对一般的非紧完备流形的指标定理进行了研究,在指标定理热方程方法的启发下,他通过控制局部紧算子在几何空间上的传播速度,引入了一类C~*-代数,即Roe代数。它不仅反映了几何空间的粗结构特征,而且广义椭圆算子的指标就是落在Roe代数的K-群之中。从几何空间的一个容易计算的几何不变量,即粗化K-同调群,到Roe代数的K-理论群有一个指标映射,粗Baum-Connes猜测断言这个指标映射为同构,从而提供了计算Roe代数K-理论群的有效途径。它是联系大尺度几何拓扑不变量与分析不变量之间的桥梁,并应用于解决其他重要问题,如Novikov猜测、Gromov-Lawson-Rosenberg正标量曲率猜测、群C~*-代数幂等元等问题。因此,粗几何上指标理论的中心问题就是解决粗Baum-Connes猜测。 Baum-Connes猜想的研究最近几年已经取得了长足的进展,最著名的是2000年Yu(郁国梁)在[78]中证明了:如果度量空间X可以粗嵌入到Hilbert空间中,则X上的粗Baum-Connes猜想成立。在随后的很长一段时间里,都没有人能够找到反例。第一个不满足Yu的框架的例子来自Gromov的扩张图,并且证明了它不能粗嵌入到任何的一致凸Banach空间中。Higson在文[45]中应用Gromov的扩张图的结构,给出了粗Baum-Connes的一个反例。V.Laforgue[49]应用有性质T的有限剩余群Γ,构造了盒子空间X(Γ),它是有限商空间序列Γ/Γ_n的无交并集,并且他发现X(Γ)包含一扩张图作为子图。最近,Gong,Wang和Yu在文[77]中研究了有性质T的无限群和它的盒子空间的Novikov猜测,建立了Γ的强Novikov猜测与X(Γ)的粗几何Novikov猜测之间的联系。由于很多具有性质T的无限群,它的强Novikov猜想是成立的,这样就证明了粗几何Novikov猜想对一大类扩张图也是成立的。在Higson的原始构造[44]和Gong,Wang和Yu在文[77]的构造都用到了一个代数提升原理,即:对任意的算子T∈C_(alg)~*(X(Γ)),存在充分大的N,使得当n>N时,算子T可以限制成为C_(alg)~*(Γ/Γ_n)中的算子T_n,且算子T_n可以提升成为代数C_(alg)~*(|Γ|)中Γ_n-不变的元素。通常,提升可以延拓到代数C_(alg)~*(|Γ|)在极大范数下的闭包中[77]。Higson发现,当Γ的渐进维数是有限的时候,应用某种算子范数局部化估计的技巧,可以把算子提升到C_(alg)~*(|Γ|)的约化闭包中,这一点在构造粗Baum-Connes猜想的反例时是极为重要的。一个自然的问题要问:在什么样的几何条件下,可以保证代数层面上的提升能够延拓到约化闭包层面上?在这样的背景下,Yu归纳了有限渐进维时的情形,提出了算子范数局部化性质的概念。 本文应用粗几何的方法,给出一类空间上的算子范数的局部化性质,并在此基础之上,进一步刻画算子范数局部化性质在哪些运算下是保持的。 本文的安排如下: 首先在第一章,作者简单介绍了算子范数的局部化性质的提出背景及其与指标理论之间的关系,回顾了相关理论的研究历史与现状,并列出本文的主要结果。 在第二章,作者在第一节中,给出算子范数局部化性质的相关定义,以及粗几何上的一些准备知识、并且给出算子范数局部化性质的一些基本性质;在第二节中,证明了算子范数局部化性质是一粗几何性质,即,在粗等价下保持不变;在第三节中,简要的介绍了度量稀疏化性质,并证明了它的粗不变性,并且讨论了它与算子范数局部化性质之间的联系;在第四节中,给出一些具有算子范数局部化性质的非平凡例子,由此指出了算子范数局部化性质的提出具有广泛的一般性和概括性,并指出对其研究的困难和意义。 在第三章,作者在第一节证明了算子范数局部化性质在群的定向极限下的不变性;在第二节中,指出它具有延拓性;在第三节中,研究了群在度量空间上的作用,得到了算子范数局部化性质在群作用下的遗传性;在第四节中,证明了一个关键性的定理,即:无限并集定理,由此我们知道如果两个区域具有算子范数的局部化性质,则它们的并也具有算子范数局部化性质,并且它们的控制常数几乎保持不变。 在第四章中,作者应用第三章证明的无限并集定理,对相对双曲群,群之间的自由积、融合积,群图的基本群等,证明了它们在这些运算下是保持算子范数局部化性质的。 第五章,构造了不满足算子范数局部化性质的空间,并且建立了与Roe代数的鬼元素之间的联系。


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