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工业数学中关于热传导方程应用的若干反问题及其数值解法

胡晓毅  
【摘要】: 本文中,我们主要讨论了几类源自工业应用的数学物理反问题。 第一章,主要介绍了所研究问题的工业背景知识,即由钢铁制造过程所引出的一系列实际问题与需求。之后,我们给出了主要的研究结果,并与相关领域中的类似工作进行了比较。同时,本章也提供了与本论文相关的预备知识,特别是关于Stefan-Boltzmann定律及其衍生出的Stefan-Boltzmann条件的说明。 第二章,引入了Stefan-Boltzmann边界条件下多层介质中的热传导问题、及其边界重构的反问题,该问题的工业背景是炼钢过程中锅炉内部的腐蚀探测,我们需要通过锅炉外侧的直接温度探测数据来实现对锅炉内部腐蚀状况的判断估计。在本章中,首先介绍了正问题的模型描述、给出了相关理论及数值模拟结果,然后引入了反问题的数学描述、并提供了对应的理论结果和具体的数值重构方法。数值实验表明了我们的方法对于重构边界、尤其是腐蚀深度的可行性。 第三章,引入了Stefan-Boltzmann边界条件下介质中的热传导问题、及该条件系数重构的反问题,该问题的工业背景是钢板生产过程中的产品质量检测,我们需要通过热成像仪的温度观测数据来重构钢板表面的物理参数(这里考虑的是Stefan-Boltzmann条件中的系数)、继而进行瑕疵判断。同样的,我们首先提供与之相关的正问题的模型、理论及数值结果,然后对反问题加以描述说明、并给出理论结果和具体数值求解方法。数值实验表明我们的方法对于重构边界上的Stefan-Boltzmann条件系数、并进而判断瑕疵区域是合理有效的。 第四章,对研究工作进行整体上的小结,同时展望与之相关的后续研究方向。论文的主要贡献在于,对于没有初值条件的情况下、包含复杂区域或复杂边界条件的数学物理问题,我们给出了相关的理论结果并提供了稳定有效的反问题数值解法,同时利用数值实验来加以验证。


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