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径向基函数逼近中的若干理论、方法及其应用

马利敏  
【摘要】: 径向基函数方法作为一个本质上用一元函数描述多元函数的强有力工具,是在处理大规模散乱数据时经常用到的方法.近十几年来,无网格径向基函数方法受到了人们越来越多的关注.本文主要针对于径向基函数逼近中的若干理论、方法进行讨论,并给出了一些应用. 第一章和第二章为论文研究工作的展开作了一些准备工作,给出了径向基函数空间的定义及其相关性质,并介绍了和径向基函数相关的一些前人的工作和基础理论知识. 第三章通过讨论积分变换和再生核Hilbert空间之间的关系,进一步考虑在Sobolev空间中径向基函数的逼近问题,并给出了用于构造逼近的径向核.由径向核的构造过程我们知道这个核在一定意义下是最优的. 第四章应用径向基函数方法求一类抛物形数学物理反问题的数值解.与传统的利用配置法思想的径向基函数方法相比,本文考虑到了时间和空间方向性质的不同,对时间和空间分别采用不同的逼近方法来处理.我们的算法不仅在理论上比配置法更为合理,而且数值例子也表明我们的方法比传统的配置法更稳定.理论结果和数值实验均表明本文的方法可以推广到多维情况. 在第五章中,我们从理论上分析了Multiquadric(MQ)拟插值方法对高阶导数的收敛性,并同时找出了MQ拟插值算法对导数有较好逼近时MQ函数中的形状参数所需要满足的条件,从而也解决了形状参数难以选择的问题.最后的数值结果表明MQ拟插值方法可以作为一个用来逼近导数的有效工具. 由于在无网格径向基函数配置法中遇到了条件数很大的矩阵求逆问题,第六章把MQ拟插值方法应用到偏微分方程数值解中,从而避免了大规模矩阵的求逆问题.数值结果表明MQ拟插值方法是一个有效的求偏微分方程数值解的工具. 第七章对本文的工作进行了总结,对以后可以开展的工作进行了展望及对后续课题提出了大体思路.


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