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神经网络的动力学分析及稳定性研究

王利利  
【摘要】: 作为一类在图像处理、模式识别、最优化问题等领域有广泛应用背景的动力系统,神经网络的动力学行为是其应用和设计的基础。本文主要就其两种动力学行为进行了研究和探讨,其一为单稳定性,即平衡态(包括平衡点、周期解和概周期解等)的存在唯一性和全局稳定性,其二为多重稳定性,即多个平衡态的共存性和局部稳定性,分别在第一部分(第一至四章)、第二部分(第五至六章)展开详细讨论。 首先是对单稳定性的分析。我们先是引入了一类同时具有时变时滞和分布时滞的Cohen-Grossberg神经网络,从任意解的有界性和近似概周期性入手,简洁直接地证明了概周期解的存在性、唯一性及全局稳定性。对带无界时滞的神经网络,我们提出了幂稳定性、μ-稳定性等概念,并通过严格的分析证明得到了平衡点的存在唯一性及全局稳定性。可以看出,之前一些适用于有界时滞网络稳定性判定的充分条件仍然可以保证无界时滞网络的稳定性。只是当时滞越来越大,收敛速度将越来越慢。高阶神经网络概周期解的单稳定性在本文中也得到了讨论。我们舍弃了目前文献中对高阶项的激发函数有界性的限制,获得了一类无界激发函数下的高阶神经网络仍然存在唯一的概周期解且全局稳定的充分条件。 其次,对神经网络多重稳定性的分析是本文的另一个研究重点。在第五章中,对一类分段线性激发函数,根据其几何特征我们可以将状态空间R~n划分为多个子集,然后得到每个子集中都存在唯一的平衡点的结论。在对每个平衡点的吸引域进行分析的同时,基于时间反演理论,可以证明对于二维神经网络,不稳定平衡点的稳定流形恰好构成稳定平衡点的吸引域的边界。而对自抑制、联接权重、外部输入等参数呈概周期变化的神经网络,我们可以得到多个概周期解的共存性和局部稳定性,它们的吸引域可以被延拓至它们所在子集以外的那些R~n的子集中去。数值模拟可以很好地验证我们的结论。


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