符号矩阵的复推广中若干问题及其图论方法的研究

【摘要】： 符号矩阵理论是组合矩阵论的一个新兴研究分支，是近年来在组合数学中较为活跃的一个研究方向。该理论主要研究矩阵的仅与其符号模式有关的定性性质。符号矩阵理论最早起源于经济学中对某些问题的定性性质的研究。其开创性工作是由诺贝尔奖获得者、经济学家P. Samuelson作出的(参见文献[46])。由于符号矩阵理论在经济学中有着重要的应用背景，从而引起了经济学家、数学家及计算机理论专家的广泛关注。1995年，R.A.Brualdi与B.L.Shader的关于符号矩阵论的专著《Matrices of Sign-solvable Linear systems》(文献[12])的问世极大地推动了符号矩阵理论的发展，它全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的研究成果，同时给出了许多新的结论，从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴研究热点。 本文主要研究符号矩阵理论的复推广中的一些重要问题，研究主要分两个方面：一是系数矩阵为方阵的复线性方程组为ray可解性的研究；二是作为SNS阵的复推广的DRU阵(即行列式ray唯一矩阵)和作为S~ -阵的复推广的ray S~ -阵的联系。在这两方面的研究中，我们都将主要使用图论的方法来研究这些原本提法是纯代数的问题。 近年来，符号矩阵理论的复推广成为国内外众多学者关注的一个热点，人们首先关注的是符号矩阵理论中的若干核心研究问题的复推广。这些问题包括线性方程组的符号可解性的复推广，及在线性方程组的符号可解性问题的完全解决中起到关键作用的符号非异矩阵(即SNS阵)和S~ -阵的复推广。 在最初的复推广研究中，作为SNS阵的标准复推广是ray非异矩阵。后来，随着对ray非异矩阵研究的深入，人们发现矩阵的许多重要性质对ray非异矩阵都不再成立(特别是SNS阵的图论特征刻划及SNS矩阵与符号可解线性方程组的许多重要关系)。在这样的复推广有障碍的背景之下，人们就转而寻找SNS阵的其他复推广。在[26]中，Shao和Shan引进了SNS阵的另一种复推广—DRU矩阵，成功地克服了上述障碍，使得符号矩阵的复推广理论能够顺利地得到进一步的推进。 在本文中，首先我们利用SNS阵的另一种复推广—DRU矩阵，用图论的方法对系数矩阵为方阵的复线性方程组的ray可解性进行了的研究，得到了如下的图论特征刻划： 1．在§2．3中我们得到了具有标准形式的、系数矩阵A为方阵的复线性方程组Ax=b为全非零ray可解的图论判别法及其解的ray模式的图论完全刻划。 2．在§2．3中我们还得到标准形方复线性方程组为全正ray可解的如下的图论刻划，即：设Ax=b及W如定理2．3．1。则Ax=b为全正ray可解当且仅当S(A)和W满足如下三条件： (1)．S(A)中任一圈的ray均为负。 (2)．S(A)中任一点均到W中某点有路。 (3)．W中点都是S(A)中的正端。 在上面得到的关于全非零ray可解及全正ray可解的图论刻划这两个特殊情形下的结论的基础上，我们进一步考虑了一般ray可解性的图论刻划，得到了第二章中的主要结论—一般ray可解的方复线性方程组的图论特征刻划。 在第三章中，我们将上述图论刻划中出现的诸相关的带ray有向图定义为W~+-ray可解带ray有向图和W-ray可解带ray有向图，并进一步对上述带ray有向图及其基础有向图的性质作了较为深入的研究，得到了如下结论： 1．关于强连通W~+-ray可解带ray有向图及w-ray可解基础有向图，我们得到了如下的用禁用子图来描述的图论特征刻划： 设w是强连通有向图D中的一个点，则D是w-ray可解基础有向图的充要条件是D中不含有D_w型子图(详见正文中的图)。 2．在§3．4中主要研究了一般情形下(即不一定是强连通的情形)的W~+-ray可解带ray有向图及W-ray可解带ray有向图的特征刻划。得到了如下的一些结论： (A)：W~+-ray可解带ray有向图的特征刻划： 设W是带ray有向图S的一个非空点子集，满足假设条件(A．1)-(A．3)(见第三章定义)，则S是W~+-ray可解(即每个圈的ray均为负且W中点均为正端)的充要条件是S满足如下两条件： (1)．S中所有支间弧的ray均为正。 (2)．S中任一强分支S_i中都存在(唯一的)一点v_i满足如下三条件： (2．1)．v_i=w_i对i=1，…，r。 (2．2)．每个S_i都是(强连通的)v_i~+-ray可解。 (2．3)．S中每一条离开强分支S_i的弧都以v_i为始点。 (B)：一般情形下的W-ray可解带ray有向图的特征刻划： 设W是带ray有向图S的一个非空点子集，满足假设条件(A1)-(A5)(见第三章定义)，按如下方式定义带ray有向图D：D中点d_1，…，d_n，如S_i到S_j有支间弧，则定义d_i到d_j有弧，且该弧的ray为以v_i为始点经过S_i到S_j的支间弧到v_j的任一路的ray，则S是W-ray可解的充要条件是S满足如下两条件： (1)．d_i(1≤i≤r)到d_j(1≤j≤r)的任一路的ray为正。 (2)．d_i(i＞r)到所有d_j(1≤j≤r)的所有路的ray都相等。 (其中诸d_i的定义见第3章。) 众所周知，在线性方程组的符号可解性问题的完全解决中起到关键作用的符号非异矩阵(即SNS阵)和S~ -矩阵是符号矩阵理论(这一组合矩阵论的新兴研究领域)的核心研究内容。 He和Shan在[5]中给出了符号非异矩阵的S~ -开拓的若干充要条件。我们在上述研究基础上，在第四章中也用图论方法对作为SNS阵的复推广的DRU阵和作为S~ -阵的复推广的ray S~ -阵的联系进行了研究，得到了如下结论： 1．在§4．3中我们对强连通DRU矩阵的ray S~*-开拓进行了研究，得到了如下结论： (A)：S是完全不可分的对角元全负的DRU矩阵A的带ray伴随有向图，w是S中的任一点，如S中不存在D_w型子图，b是唯一非零元在w行的列向量，则(A，b)为ray S~*-阵。 由此可知，任一完全不可分DRU矩阵A，可以取带ray伴随有向图S中任何不存在D_w型子图的点w，拓展为ray S~*-阵。 (B)：A是对角元全负的完全不可分DRU矩阵，S是A的带ray伴随有向图，则A可开拓为ray S~*-阵的充要条件是S中存在点w，使得S中不存在D_w型子图。 2．在§4．4中，我们对一般情形DRU矩阵的ray S~*-开拓问题进行了研究，得到了一般情形下DRU矩阵可开拓为ray S~*-的若干充要条件。