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《同济大学》 2006年
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孤立置换集,复方阵的行列式值域和完全拟S~*阵

任灵枝  
【摘要】: 作为组合矩阵论的一个分支,符号矩阵论主要研究矩阵的定性性质,即仅与矩阵的符号模式有关的性质.它最早始于诺贝尔奖获得者、经济学家P.Samuelson在1947年所开创的关于符号可解的线性方程组的研究([30]),此后,因其在定性经济学中的重要应用及作为线性代数、组合数学和图论的交叉学科,符号矩阵理论引起了经济学家、数学家及计算机理论专家的广泛关注,1995年,R.A.Brualdi与B.L.Shader在符号矩阵论的第一部专著《Matrices of Sign-solvable Linear Systems》([9])中总结并极大丰富了符号矩阵理论的研究成果,从而使符号矩阵论成为组合矩阵论的一个研究热点. 近年来,符号矩阵理论的研究有着从实数域向复数域推广的趋势,1997年,J.J.McDonald等人在[28]中将实符号非异阵推广为ray符号非异阵,他们在研究ray符号模式矩阵的行列式值域时,引入了孤立的transversal集合的概念,并给出一个阶数至多为3的transversal集合为孤立的时的刻划,我们在第二章中,说明了孤立的transversal集合等价于孤立的置换集(§2.1),并给出了孤立的置换集的图论刻划(§2.2),此外,我们利用孤立置换集的刻划解决了一个关于某些置换阵的线性无关性判定的问题(§2.3). 1998年,C.A.Eschenbach等人在[11]中将实符号模式矩阵推广为复符号模式矩阵,并提出了若干值得研究的问题,其中之一是“给出复符号模式矩阵所有可能的行列式值域”,J.Y.Shao和H.Y.Shan在[41]中列出了复符号模式矩阵的行列式值域可能的区域类型,除这些类型的区域以外,他们猜想剩余类型的区域一(B1)-(B11)均不可能为任一复符号模式矩阵的行列式值域,其中的(B1)-(B3),(B6)-(B7)类型的区域在[41]中就已经被排除,本文在第三章中排除了(B8)型区域(§3.2),以及(B4),(B9),(B10)型区域(§3.3)。 完全拟S~*阵是符号矩阵论中重要的一类矩阵,[9]对之作过专门的论述,[9]中叙述了完全拟S~*阵的零位模式的刻划,本文在第四章中独立地给出了完全拟S~*阵的符号模式的刻划(§4.1),并通过定义完全拟S~*带号二分图和研究完全拟S~*带号二分图的结构给出了完全拟S~*阵的结构(§4.2)。 Nearly拟S~*阵是与拟S~*阵相关的一类矩阵,本文在第五章中刻划了nearly拟S~*阵(§5.1),并通过定义nearly拟S~*有向二分图和研究nearly拟S~*有向二分图的结构给出了所有的nearly拟S~*阵(§5.2)。
【学位授予单位】:同济大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2006
【分类号】:O151.21

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