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多光谱BLT反源问题的一类新型正则化方法

宋世俊  
【摘要】:近二十年来,作为应用数学和计算数学领域发展最快的分支之一反问题的理论与计算研究具有重要的理论意义和研究价值。其在生物分子成像、医学图像处理、无损伤探测等领域都有着广泛应用。尤其在生物分子成像领域,新兴的BLT(生物发光体内成像技术)问题[1-10]以及分光谱BLT问题[11-17],可由一个不适定的反源问题来描述[18,19,11,20-22,13,23,24]。针对这一不适定的反问题,现已有多种数值求解方法[19-23,25]。本文的主要工作是:针对BLT问题,构造了种重构源函数的新方法,并在光源函数的允许集非离散和离散为分片常数函数空间中的有界集这两种情况下,分别进行了收敛性分析和误差估计;进一步,将光源函数允许集离散为分片线性函数空间,证明了收敛性和误差估计,并提升了收敛精度;针对分光谱BLT问题,构造了一种重构多光谱多区域光源的新方法,在各光源允许集非离散以及离散为分片常数函数空间中有界集和分片线性函数空间这三种情况下,分别验证了收敛性并给出误差估计和误差阶;提供数值实例说明这些方法的计算效果。 首先,针对BLT问题,构造了一种重构源函数的新方法。区别于已有方法,新方法的目标泛函中测量数据吻合度一项定义在整个生物体区域上,从而使其有限元逼近在实际应用中更加精确。该方法的关键是利用Tikhonov正则化方法的思想,将此不适定反源问题转化为一个极小化问题,并通过证明目标泛函严格凸等性质,导出该问题解的存在唯一性。由有限元方法的误差估计及细致分析,证明了极小化问题有限元解的收敛性和误差估计,得到相应的误差阶为O(h)。进一步,将光源函数的允许集离散为分片常数函数空间中的有界集,通过有限元误差分析及细致推导,证明了相应极小化问题有限元解的收敛性和误差估计,得到相应误差阶为O(h+(h+H1/2)EH(pε)1/2)。最后提供数值实验验证了该方法的有效性。 其次,作为对第二章中新方法的补充和发展,我们将光源函数允许集离散为分片线性空间。通过有限元误差分析及细致推导,证明了相应极小化问题有限元解的收敛性和误差估计,并将误差阶提升为O(h+(h+h1/2H1/2+H)EH(pε)1/2),并提供数值实例说明改进后新方法的计算效果。 最后,针对分光谱BLT问题,构造了一种重构多光谱多区域光源的新方法。首先,对各区域不同光谱的光源函数的重构,可通过一系列不适定的反源问题来描述。然后,由Tikhonov正则化,将这一系列反源问题转化为一个极小化问题,并利用目标泛函的严格凸性等性质,证明了极小化问题解的存在唯一性。接着,由有限元误差估计及相关分析,证明了极小化问题有限元解的收敛性和误差估计,得到相应误差阶为O(h)。进而将各光源函数的允许集离散为分片常数空间中的有界集,利用相应误差分析和推导,证明了离散化后极小化问题解的收敛性和误差估计,得到相应误差阶为O(h+(h+H1/2)E1H(pεM)1/2)。同时,当各光源允许集离散为分片线性函数空间时,由有限元方法及细致分析,验证了极小化问题有限元解的收敛性和误差估计,并将误差阶提升为O(h+(h+h1/2H1/2+H)E2H(pεM)1/2)。最后,进行一系列的数值实验考察新方法的计算表现。


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