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Gorenstein投射模范畴与单态射范畴

熊保林  
【摘要】:Gorenstein同调代数起源于20世纪60年代,是非常成功的一种相对同调代数理论,在表示论、Tate上同调、奇点理论等分支中有广泛应用Gorenstein同调代数的基本思想是用Gorenstein投射模、Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模分别代替投射模、内射模和平坦模Artin代数上的Gorenstein同调代数的基础是Gorenstein投射模(Gorenstein内射模可利用Nakayama函子得到).为更好地理解和发展Gorenstein同调代数,需要更详细和更具体地研究非平凡Gorenstein投射模的结构和Gorenstein投射模范畴,在这方面已有李志伟和章璞给出的突破性结果,有待进一步发展.另一方面,由子模范畴发展而来的单态射范畴与Gorenstein投射模范畴以及奇点范畴等方向有密切联系,它能给一大类代数上的Gorenstein投射模提供很好的研究框架.因此,从单态射范畴出发研究Gorenstein投射模范畴是一个可行且重要的方向. 本文得到的主要结果如下: 一.三角矩阵Artin代数的Gorenstein投射模的构造. (1)对很大一类三角矩阵代数,详细刻画了正则模的左Ext-正交范畴中的模. (2)对非常大一类三角矩阵Gorenstein代数,刻画了Gorenstein投射模的结构. (3)利用三角矩阵扩张,归纳构造出了一类CM-有限Artin代数. 二.将子模范畴的Auslander-Reiten理论推广到单态射范畴,并应用到自入射代数的Tn-扩张的Gorenstein投射模范畴上 (1)利用给定代数的Auslander-Reiten变换给出了单态射范畴的Auslander-Reiten变换的可计算性公式. (2)对于自入射代数的单态射范畴,亦即自入射代数的Tn-扩张的Gorenstein投射模范畴,给出了Auslander-Reiten变换在对象上累次作用的表达式,并对Nakayama自入射代数,给出了Auslander-Reiten变换在对象上的周期公式. (3)对自入射代数的稳定单态射范畴,给出了Serre函子在对象上累次作用的表达式,并对Nakayama自入射代数,给出了Serre函子在对象上的周期公式. (4)给出了一些有限表示型的单态射范畴的Auslander-Reiten箭图. 三.引入Gorenstein稳定等价. (1)证明了Gorenstein稳定模范畴是稳定模范畴相对于Gorenstein投射模稳定范畴的商范畴. (2)对于有限维代数,证明了Morita型稳定等价和几乎v-稳定导出等价均诱导Gorenstein稳定等价. (3)给出一些例子说明稳定等价、Gorenstein稳定等价、Gorenstein投射模稳定范畴的等价等各类等价之间的区别. 四.对于根平方为零的连通左Artin环,详细刻画了正则模的左Ext-正交范畴,并给出了其上广义Nakayama猜想的有效上界.


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