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《上海交通大学》 2012年
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带耗散机制的双曲方程解的大时间行为

王利娟  
【摘要】:本文主要考虑了带耗散机制的双曲方程解的大时间行为.本文的主要内容如下: 第一章为绪论.在这里,我们回顾了带分数阶耗散项的Burgers方程,两维的带扰动项的Hasegawa-Mima方程和两维的粘性浅水波方程的物理背景及研究历史,并介绍了我们所研究的方程及其相关结论. 第二章中,我们研究了带分数阶耗散项的Burgers方程周期大解的整体存在性和大时间行为.在第一节中,我们研究的是分数阶的Burgers方程周期大解的渐近性态.首先利用迭代的方法得到了局部解的存在性,然后利用极大值原理和一些精细的不等式我们得到解的指数级衰减估计,最后由局部解的存在性和解的指数级衰减,利用经典的连续性办法得到了分数阶Burgers方程周期大解的整体存在性.同时,我们还得到了此周期大解关于时间t的连续性.在第二节中,我们以附录的形式给出了带分数阶耗散项的Quasi-Geostrophic方程周期大解也有指数级的衰减估计.由于其证明过程类似于本章第一节中的证明过程,为避免繁冗,我们这里不再给出具体的证明过程. 第三章中,我们考虑了两维的带扰动项的Hasegawa-Mima方程解的整体存在性和逐点估计.在第一节中,我们给出了几个重要的引理,这些引理为我们后面的证明提供了有力的理论工具.在第二节中,我们给出了本章所研究的方程和主要结果.在第三节中,利用能量的办法得到了解的整体存在性.第四节中,我们利用Green函数方法得到了两维的带扰动项的Hasegawa-Mima方程解的逐点估计.首先通过对线性化问题Green函数的研究,我们得到Green函数的逐点估计.并利用Duhamel原理将非线性微分方程转换成非线性积分方程.然后利用Green函数的逐点估计,我们获得当初始值在一个常状态附近扰动时非线性方程解的逐点收敛速度.研究发现,解随时间增加不断地耗散,与此同时解的主部向某个方向在平移. 第四章中,我们考虑的是两维的粘性浅水波方程解的逐点估计.由于粘性浅水波方程的非线性项不能像Navier-Stokes方程那样可以写成某个函数散度或者导数的形式,这样我们就不能把非线性项中的导数转移到Green函数上面,也就是说不能通过这样的导数转移来增加Green函数的衰减速度,从而导致我们在证明非线性方程组解的逐点估计时会遇到解的逐点估计和先验估计不能吻合起来的困难.为了克服这个困难,我们首先要对原方程做一个等价变形.变形后的方程变成流体表面高度h(x,t)和流体动量h(x,t)u(x,t)作为未知函数的方程,然后利用经典的Green函数的方法来研究变形后的方程组.首先得到变形后方程线性化问题的Green函数,然后利用经典的Green函数的方法得到Green函数的逐点估计,最后利用先验估计和Green函数的逐点估计得到非线性方程组解的逐点估计.从我们得到的结果可以清晰地看到解的移动,这种移动正是体现了波的传播有清晰的前阵面,但没有后阵面,和惠更斯原理中描述的奇数维波的传播有着本质的区别.
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