《数》《算数书》与《九章算术》的比较研究

【摘要】：本文对现存最早的两种竹简数学文献《数》《算数书》和传世文献《九章算术》中的代表性问题，如几何问题、盈不足术、按爵位分配财产、赋役分派、大型工程劳力的安排等问题进行了比较，分析其在处理问题、算术表述、解题方式等方面的异同。认为与其他类型的数学问题相比，几何计算的抽象性较强，术文较为独立于具体的数值计算，能够作为一个表述公式而单独存在。这点在年代最早的《数》中表现得尤为突出。《九章算术》里数学用语更加规范，回避了《算数书》和《数》中一些省略的表述，而算理也更为准确。并且《九章算术》在编写时并非直接参照前者，只可能受共同的算法源头的影响。 中算传统中“盈不足术”这种著名解法的通用性之广和特征性之强，在《九章算术》里已经被清晰地意识到，但在《数》和《算数书》里则并不突出。竹简文献里都将其中的数学名词分别以分数的“母”和“子”的名称表示，说明盈不足方法的产生与分数的概念及其运算密不可分。此外，古人使用盈不足术是比较谨慎的，可能会在具体运算过程中反复假设试值以求得满意解。 更重要的是，一直被作为数学史界研究重点的《九章算术》，在有了《算数书》和《数》这两部出土文献的对照，也凸显出以往被忽略的一些特性，除了更准确的术语表述、严谨的数据处理和完善的运算过程，还有更宏大的问题背景和更复杂的制度设计思想等。这意味着，在中国传统数学的实用取向上，还分化出不同的层次。数学这一工具理性（InstrumentalReason），在当时的知识水平下，在《九章算术》中已经极大程度地用来构建和保证政策的正当性（Validity）与合理性（Rationality）。它在徭役分配等问题上体现了更强的“解决大问题、调配大量人力物资”的行政属性，这在工程量的规模、调派的人数、调配资源时的现实因素等诸多方面表现得尤为突出，非一般位阶的官吏所能涉及。我们称在早期中国数学发展中，以《九章算术》为代表的“管理数学”（Bureaucratic Mathematics）与《算数书》《数》体现的“日用算法”（Daily Arithmetic）是个新的视角。不单以问题的难易程度来区分，我们看到在这个新视角下的三种数学文献的区别显得更为清晰准确。