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图的拉普拉斯与无符号拉普拉斯矩阵

张杰  
【摘要】:关于图的特征值和图的结构之间的关系的研究是谱图理论的核心问题.给定一个阶数很大的图,能很快的准确得到这个图的信息将是很有必要的.一个最有效的方法是研究与图相关的不同矩阵的谱.通过观察这些特征值就可以得到一些可能很难获得的图的信息.本文主要研究与图相关的两种最常见的矩阵(Laplacian矩阵、无符号Laplacian矩阵)的谱,而图的所有的(无符号)Laplacian系数与图的(无符号)Laplacian谱是一一对应的,因此我们研究如何利用图的所有的(无符号)Laplacian系数来获得图的一些信息.本文主要围绕双圈图的关于无符号Laplacian系数的偏序关系、固定匹配数的单圈图的关于无符号Laplacian系数的偏序关系以及固定叶子数的单圈图的关于Laplacian系数的偏序关系三个方面进行研究.首先,我们研究双圈图的无符号Laplacian系数,特别是刻画固定顶点数的双圈图的集合关于无符号Laplacian系数的偏序关系的极小元.这样的图不是唯一的.并且给出具有最小关联能量的图.其次,我们研究单圈图的无符号Laplacian系数,特别考虑固定匹配数不变的单圈图的集合关于无符号Laplacian系数的偏序关系的极小元.研究表明这样的图不是唯一的,且与固定匹配数不变的单圈图的集合关于Laplacian系数的偏序关系的极小元具有不同的拓扑结构.进而,得到具有最小关联能量的图.最后,我们研究Laplacian谱的对称多项式——Laplacian系数,主要研究固定叶子数的单圈图的Laplacian系数,刻画了固定叶子数和围长不变的单圈图的几个特殊子集关于Laplacian系数的偏序关系的极小元和具有最小Laplacian-like能量的图.


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