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关于图的Laplacian和无符号Laplacian特征值之和的若干结果

刘许娟  
【摘要】:设G=(V,E)是阶为n,边数为e(G)的简单图,令G的匹配数为m(G),团数为ω顶点覆盖数为τ,直径为d,Laplacian和无符号Laplacian特征值分别为μ1(G)≥μ2(G)≥…≥μn(G)=0和q1(G)≥ q2(G)≥…≥qn(G)≥0。对任意的1≤k≤n,记Sk(G)=(?)μi(G),Sk-(G)=(?)qi(G)。本硕士论文主要围绕Brouwer等人提出的猜想Sk(G)≤e(G)+(2 k+1)(k=1,2,…,n)和Ashraf等人提出的猜想Sk-(G)≤e(G)+(2 k+1)(k=1,2,…,n)展开工作。证明了m(G)=1,2时,对任意的3 ≤k≤n;m(G)=3时,对任意的5≤k≤n(部分分类3≤k≤n)这两个猜想均成立。同时证明了二部图Gs1,s2(s1≤s2),对任意的2s1+1≤k≤n;围长为g的图,对任意的1≤k≤[g/5],特别的当3+(?)/2≤[g/5]时,对任意的1 ≤k≤n;最大度为△,最大度点含有p个悬挂点的图,对任意的5+(?)/2≤k≤n,特别的G为c-圈图(c≥3),当△c+p+4时,对任意的1≤k≤n;完全分裂图,对任意的1≤k≤n,第二个猜想也成立。还给出了文献[27]中定理Sk(G)≤k(τ+1)+e(G)-ω(ω-1)/2,(1≤k≤n)的另一种证明方法,并举反例说明定理Sk(G)≤k(τ+s2-s1)+e(G)-s1(s2-1)和定理Sk(G)≤(τ-[d+2)k+e(G)-d+cos(kπ/d)+cos(π/d)sin(kπ/d)+sin(kπ)/d/sin(π/d)不成立,其中Ks1,s2(s1≤s2)是G的最大完全二部子图。


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