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几类微分方程的分支

胡召平  
【摘要】: 本文首先对一维周期脉冲系统进行了详尽的研究,用Poincare映射和后继函数的方法讨论了周期解的存在性、稳定性及其判据和分支;对平面哈密顿系统周期性脉冲扰动下闭轨的分支也进行了研究。不同于大部分人用上下解方法、平均方法等来研究脉冲系统的周期解或周期边值问题,本文采用了与研究常微分方程周期解及其分支相同的方法来研究周期脉冲系统。同时,本文还研究了一类平面哈密顿系统在多项式扰动下周期解的分支,得到了一些有趣的结论。最后,本文对一类共振中心问题进行了研究,给出了1:-3共振中心在三次齐次扰动下原点是中心的充分和必要条件。全文主要内容如下: 第一章简单介绍了一下脉冲系统及其现实背景和已取得的成果,并介绍了共振中心的概念和当前的进展,最后对本文的创新工作进行了大致的阐述。 第二章对一维的周期脉冲微分方程引入了Poincare映射和后继函数的概念。并通过对Poincare映射和后继函数性质的研究,给出了周期解的存在性条件及其稳定性的判据。同时,对周期脉冲系统在小的扰动下的情况进行了讨论:不仅证明了周期脉冲系统的双曲周期解是结构稳定的,还得到了与不带脉冲周期系统相同的鞍结点分支,甚至证明了在不带脉冲的一维系统中不可能发生的倍周期分支。此外,我们还通过一些具体的实例来说明这几个分支定理的应用。 第三章用Melnikov函数的方法,讨论了平面哈密尔顿系统的闭轨在周期脉冲扰动下的分支。给出了扰动后的脉冲微分方程在未扰系统的闭轨附近出现调和解、次调和解的充分条件的新结果,证明了与不带脉冲的平面哈密尔顿系统分支平行的结论。最后,通过一个具体的实例表明,平面哈密尔顿系统在某个扰动下不出现次调和解,加上脉冲扰动后就可能出现一个甚至多个。 第四章研究了扰动平面哈密顿系统的分支情况。但与前人的做法不同的是,本文考虑的是哈密顿函数为带参数的函数的平面哈密顿系统的扰动,相当于是一次扰动之后再进行扰动,从而得到了比一次扰动更多的闭轨的条件。然后,以一类特殊平面哈密顿系统的扰动为例,用Melnikov函数研究了该系统周期解的周期的大小变化情况。 第五章在复平面上研究了1:-3共振中心带有三次齐次多项式的系统,给出了系统存在中心的充分必要条件:即当且仅当三次非线性项的系数满足什么条件时,系统以原点为中心。在充分性的证明中,我们不止用到了常规的由不变曲线及其余因子构造首次积分的方法,还用到了构造级数形式的首次积分的递归方法和一种处理特殊情形的特殊方法。


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