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Gorenstein导出范畴及相关研究

高楠  
【摘要】: 过去三十五年,三角范畴在理论和应用上的重要性得以重新认识;过去四十年,代数表示论系统地发展出构造结构和表示的方法,并与其它分支建立了广泛联系;自1965年,相对同调代数,尤其是Gorenstein同调代数,积累了大量文献。这是一篇利用三角范畴理论和代数表示论方法研究Gorenstein同调代数的博士学位论文。本文主要结果如下。 一.引进并研究Gorenstein导出范畴和Gorenstein奇点范畴。这是Goren-stein同调代数的自然发展。 1.给出了Gorenstein导出范畴和导出范畴之间的关系; 2.证明了Gorenstein投射模的有界同伦范畴是Gorenstein导出范畴的三角子范畴;证明了Gorenstein环和域上的有限维代数的有界Gorenstein导出范畴三角等价于Gorenstein投射模的只有有限个上同调群的上有界复形的同伦范畴; 3.将Gorenstein导出函子解释成有界Gorenstein导出范畴上的Hom函子; 4.证明了环是Gorenstein环当且仅当它的Gorenstein奇点范畴是零;一般地,若环不是Gorenstein环,我们将一个Frobenius范畴的稳定范畴嵌入到它的Gorenstein奇点范畴中,从而度量它离Gorenstein性质有多远。上述2和3中工作是将导出范畴中的结论发展到Gorenstein导出范畴;而1和4中工作是全新的。 二.利用代数表示论中上三角代数,特别是单点扩张的技巧,具体构造了Gorenstein投射模:包括描述了强完备Λ-投射分解的形式;特别地,单点扩张情形下强完备投射分解的具体刻画。这种刻画确定了单点扩张前后强Gorenstein投射模之间的关系:因Gorenstein投射模是强Gorenstein投射模的直和项,从而得到Gorenstein投射模的归纳构造和丰富例子。 三.注意到,Gorenstein性已被推广到带有三角真类ξ的三角范畴。这篇博士学位论文第三部分在这方面做出若干新结果:利用函子ξxtGP(ξ)(-,-),GP(ξ)-分解和相对于GP(ξ)的Schanuel类,给出对象的ξ-Gorenstein投射维数的三个等价定义;引入ξ-tilting类的概念,给出辨别ξ-Gorenstein三角范畴的一个充要条件;引进强ξ-Gorenstein对象的概念;证明了Δ-Gorenstein投射对象必是某个强Δ-Gorenstein投射对象的直和项。从而刻画了Δ-Gorenstein投射对象。 四.经典Auslander-Reiten转置(transpose)是用投射模作出的.对于Cohen-Macaulay有限(即不可分解Gorenstein投射模的同构类的个数有限)的Artin代数的模范畴,我们用Gorenstein投射模作出类似的转置,称之为相对转置,从而将代数表示论中Auslander-Reiten序列和Auslander-Reiten公式作了相应的推广。


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