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Boltzmann方程初边值问题的Green函数方法

邓师瑾  
【摘要】: 本文主要以空气动力学方程为例,考虑了Green函数方法如何运用于解决初边值问题及特殊的变系数问题上。本文的主要内容如下: 第一章为绪言。在这里,我们州顾了空气动力学方程的物理背景及研究历史,并交代了将要研究的两个方程和相关的主要结论。 第二章中,我们研究了一个特别的离散Boltzmann方程(Broadwdl模型)。分别考虑了它的两种初边值问题。当物理边界为超音速边界时,我们用初值问题的基本解结合边界的加权能量估计获得了解的逐点描述。当边界为亚音速边界时,我们运用一套迭代格式,用渐近方法获得边界的完整信息,并在初值问题基木解的基础上构造了初边值问题的基本解。使用这一基本解的估计,再加上对非线性波相互作用的考虑,我们获得了非线性方程解的逐点收敛速度。 第三章中,我们考虑了Boltzmann方程Knudsen边界层问题。我们使用时间渐近方法重证了[78]中获得的边界层的存在性理论,给出了边界层的估计。并在证明存在性的过程中,同时获得了马赫数(文中所提到的马赫数都是指我们定义的特定的马赫数)小于.1时,边界层的稳定性。这也是使用这一方法的一个优点。当研究马赫数大于.1时边界层的稳定性时,尽管相应的线性方程是变系数方程,我们仍然使用常状态附近扰动获得的线性方程所对应的基木解来表出非线性方程的解。这是由于误差项足够小,又有快速的衰减,使得我们得以用处理非线性项的方法来处理该误差项。不同的是,边界为超音速时(指马赫数大于1),使用初值问题基本解;而边界为亚音速时,使用初边值问题的基本解。我们最终获得了非特征边界下边界层的稳定性,并得到了逐点收敛速度。 本文中所采用的Green函数方法也可以用于处理其他带耗散结构方程的初边值问题。事实上,我们还用这一方法考虑了硬势情形下Knudsen边界层的稳定性和多维带阻尼项Ettler方程的初边值问题以及Broadwell模型带有质量守恒边界条件的初边值问题。另外,考虑到初值问题Green函数的构造是用Green函数方法研究初边值问题的基础,我们还构造了多维带松弛项守恒律方程初值问题的基本解。限于篇幅,没有将其列于本文之中。详见【19,20,16】。


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