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《上海交通大学》 2007年
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计算力学中高精度无网格法基础理论研究

陈思  
【摘要】: ?无网格方法是新一代的计算方法,这种方法计算空间导数时不需要借助于事先划定的网格,从而避免了高维拉普拉斯网格法中网格缠结和扭曲等问题。光滑质点流体动力学的方法(SPH)是一种应用广泛的无网格方法,但这种方法存在计算精度低、求解二阶空间导数不稳定、边界条件难以处理等缺点。 当质点分布均匀、对称时,本文证明:线性函数的真实值与SPH近似值的比值为常数;多项式函数的阶导数的真实值与SPH近似值的比值为常数;多项式函数的二阶导数和与SPH近似值的比值为常数。采用上述结论可以得到一种高精度的SPH离散格式。 本文采用移动最小二乘法保证质点分布均匀、对称。如果采用完备性的方法,则可使计算更加简洁。采用完备性方法时,需引进背景函数,但不再需要质点分布均匀、对称。如果采用线性函数作为背景函数,在计算一阶导数时,可得到与Belytschko类似的结论。 借助弹性力学变分公式推导出一种新的SPH离散方法,并提出扩张核函数的概念。利用扩张核函数求空间函数的二阶导数,可降低核函数的可导性要求。 采用高精度的SPH方法推导了计算流体力学和计算固体力学相关公式,并通过算例检验这种方法的精度。其中固体力学的算例精度令人满意,流体力学的算例与经典SPH方法比较,精度提高不明显。主要原因在于流体力学模拟受边界影响较大,而文中所提高精度SPH格式尚无配套的高精度边界条件处理方法。 本文将SPH方法和动力松弛法(D.R.)相结合,利用SPH的特点,提出加速D.R.方法收敛的新技巧。同时,利用扩张核函数的概念处理固体力学边界条件获得成功。
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