二阶锥规划和二阶锥互补问题的算法研究

【摘要】： 二阶锥规划是在一个仿射空间和有限个二阶锥的笛卡尔积的交集上极小化或者极大化一个线性函数问题.其约束是非线性的,但却是凸的,因此二阶锥规划属于凸规划.二阶锥规划是半定规划的特例,而线性规划、凸二次规划和二次约束的凸二次优化等可作为它的特例.由于其宽广的应用范围、特殊的锥结构和计算上的方便性,所以它有其独立的研究价值.由于它的广泛应用和原始-对偶内点法的迅速发展,二阶锥规划已经成为数学规划领域的一个重要研究方向. 二阶锥互补问题是一类均衡优化问题.近几年,人们借助欧几里得约当代数技术,在对称锥互补问题的研究方面取得了突破性进展并使之逐渐受到重视.二阶锥互补问题是二阶锥规划的推广,它包括线性二阶锥互补问题和非线性二阶锥互补问题.近几年来,人们对它的研究呈上升趋势,主要研究内容包括：解的存在性与特征,势函数和误差界,各种光滑化方法和优化方法,以及各种实际应用.关于非线性二阶锥规划及其互补问题的理论和算法,其研究方兴未艾,是当今人们关注的热点课题之一. 本文主要研究二阶锥规划及其互补问题的算法.论文共分八个部分： 第一部分,介绍二阶锥规划和二阶锥互补问题的模型,研究背景、意义和现状,并对现有算法加以总结,从而引出需要进一步解决的问题及本文所作的主要工作. 第二部分,简要介绍有关预备知识.主要介绍欧几里得约当代数、二阶锥规划的最优性条件、中心路径条件、互补条件和原始-对偶内点算法. 第三部分,定义了中心路径的一个宽邻域,并给出二阶锥规划问题的一个宽邻域原始-对偶路径跟踪内点算法,使得所有迭代点都跟踪这个宽领域,得到目前为止宽邻域路径跟踪内点算法最好的迭代复杂性界. 第四部分,给出一个与二阶锥关联的光滑函数,并研究该光滑函数的性质.基于此光滑函数,给出二阶锥规划问题的一个光滑牛顿类型算法.该算法把扰动最优性条件重新表述成一个线性方程组进行求解,得到比相应的内点法更强的结果.它可以始于任意初始点；每步迭代只需求解一个线性方程组,执行一次线搜索；在较弱的假设下,算法所产生的序列全局收敛,并且在无严格互补条件的情况下Q二次收敛于问题的最优解. 第五部分,受求解变分不等式问题的交替方向法的启发,给出二阶锥规划的一个带完全牛顿步的非内点全局收敛算法.该算法的主要思想是把原始-对偶最优性条件中的互补条件重新表述成一个投影方程.所给算法对初始点的可行性不作任何要求；每步迭代只需求解一个系数矩阵固定的线性方程组,执行两次简单的投影运算；无需执行任何线搜索；不要求约束系数矩阵的行向量组线性独立；算法所产生的序列全局收敛到问题的最优解,无需严格互补条件,这一结果强于相应的内点法和光滑算法. 第六部分,研究一类特殊的二阶锥规划问题带有P0函数的非线性互补问题.基于一个新的带有惩罚项的光滑函数,把问题近似成参数化的光滑方程组,并且给出一个新的非内部连续化方法.所给算法在每步迭代只需求解一个线性方程组,执行一次Armijo类型的线搜索.在不需要严格互补条件的情况下,证明了该算法是全局收敛和超线性收敛的.并且,在一个较弱的条件下该算法具有局部二阶收敛性.通过数值实验证实了算法的可行性和有效性. 第七部分,我们给出一类新的含有单参数的光滑二阶锥互补函数,在适当的条件下证明该类光滑函数是强制的.基于所给的单参数类二阶锥互补函数,给出求解单调二阶锥互补问题的一个光滑牛顿算法,在一定条件下证明了算法的全局收敛性和局部超线性收敛性. 最后,在第八部分,针对现有的二阶锥规划及其互补问题算法存在的问题,提出了有待进一步研究的课题.