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多源多宿信道容量区域分析

陈琦  
【摘要】: 本文主要通过研究熵函数集Γ?的表征来研究它的等价问题――多源多宿正交信道容量区域的表征。 n元离散随机变量组的熵函数集Γn?是由信息不等式在熵空间Hn中划定的一个区域。这些信息不等式一类为传统的香农型信息不等式,由信息测度非负决定。另一类不等式是以张-杨不等式为代表的非香农型信息不等式。然而,由于存在无穷多个信息不等式,Γn?的完全表征对于信息论研究者来说是一个极大的挑战,从1997年定义至今,依然是一个开放问题。 Γ?和多源多宿正交信道容量区域间有着对偶关系。这种对偶性主要体现在网络编码的使用后,信道容量区域可以由一个包含Γ?的子集有限熵函数集Γ??的表达式给出。因此,网络编码也是本文研究的内容之一。单个信源的有线网络(正交信道)的容量可以通过线性网络编码达到。但是,这个结论不能推广到多信源的情况。因此,对于多源多宿正交信道,我们给出了一个如上所述的表达式,并分别证明了,该表达式划定之外的区域不可达,和之内的区域都可达。但是,由于该表达式含有Γ??,所以,该问题依然没有得到完全解决。 由于多源多宿正交信道的表征问题和Γ?的表征问题等价,而Γ?的完全表征问题非常困难,我们试图通过求Γ?的内界以及简化子问题来获得该问题的最终解答。 通过群论来研究熵函数是这种尝试手段之一。由群定义的熵函数称为群征熵函数,它的区域群征熵函数集ΓG?是Γn?的一个子集。由于ΓG?的凸闭包等于Γn?的闭包Γ?n,因此它在很大程度上表征了熵函数的特性。ΓG?的子集阿贝尔群征熵函数集Γa?b和线性群征熵函数集Γ?L也分别有很好的性质。Γn?及其各个子集ΓG?,Γa?b和ΓL?都和多源多宿网络编码(正交信道)容量区域的内界存在对偶关系。 拟阵理论是研究网络编码(正交信道)容量区域和熵函数的又一工具。拟阵理论是一门研究集合中元素间相关关系的代数理论。通过拟阵理论,我们可以研究独立信源间的相关关系,从而找到最终的容量区域。本文中,我们主要介绍了一种通过拟阵来构造网络的方法。通过这种方法所构造的网络,能够一定程度上反映拟阵中元素的相关关系。而通过费诺拟阵和反费诺拟阵构造出的网络和它们的结合网络,证明的线性网络编码不足以完全达到多源多宿网络编码(正交信道)容量区域。 平均熵函数是熵函数在平均意义下的一个简化。我们可以证明平均熵函数集Φn?能够被香农型信息不等式完全表征。平均熵函数将有可能在计算一些具有对称结构的多源多宿随机网络容量区域中发挥作用。 总而言之,多源多宿正交信道容量区域的表征,及其等价问题Γn?的表征是一个极赋挑战性的问题。它们的完全解决,对于信息论研究这来说,还有一段很长的路要走。


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