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分数布朗运动的局部时及相关过程的随机分析

陈超  
【摘要】:本学位论文主要是研究分数布朗运动及其相关联的某些自相似随机过程,通过分析它们的轨道、分布等,尤其是对分数布朗运动局部时积分、赋权局部时以及相交局部时的研究,得到了一些有意义的结果,也充实了自相似高斯过程的内容。进一步地,我们讨论了与其相关联的自相似过程,譬如次分数布朗运动、Rosenblatt过程以及分数布朗单与多维分数布朗运动生成的迭代过程。全文共分七章。 第一章主要阐述分数布朗运动的基本概念及相关性质,随后建立了一些与Bernoulli不等式相关联的不等式,为后面章节的论证做铺垫。 第二章我们主要针对Hurst指标H∈(0,1/2)的情形讨论分数布朗运动的广义二次协变差[f(BH),BH](W)在L2中存在的条件,并建立了广义Ito公式不同于H∈(1/2,1)时,分数布朗运动具有时间翻转过程,于是我们研究的出发点是分解表达式然后构造了一个Banach空间H,并证明[f(BH),BH](W)在L2中是存在的只要可测函数f∈H;紧接着我们又讨论了局部时空间积分fRf(x)(?)H(dx,t),得到了相应的Bouleau-Yor型等式;最后,我们将类似结论推广到时间相依的情形。 第三章,主要研究Hurst (?)旨标H∈(1/2,1)时分数布朗运动的赋权局部时(?)H(t,x)。利用类Knight定理逼近法以及分数Clark-Ocone公式,对于(?)H(t,x)空间增量的连续L2模我们建立了一个很漂亮的中心极限定理,即对任意固定的t0,当h趋向于零时,成立,其中η是独立于BtH服从标准正态分布的随机变量。 第四章主要研究Rd,d≥2上Hurst指标均为H∈(0,1)且相互独立的两个分数布朗运动的相交局部时,给出了其在L2中存在性和在Meyer-Watanabe意义下光滑性的充分必要条件。第一节阐述问题的背景知识,简单介绍了关于L2空间的混沌展开,引出Meyer-Watanabe函数空间;在第二节里,利用第1.2节中建立的那些不等式,运用初等方法讨论了相交局部时L2中存在的充分必要条件;最后一节证明了相交局部时在Meyer-Watanabe意义下正则性的充分必要条件是H2/d+2。 第五章主要研究一类与分数布朗运动相关联的随机过程—次分数布朗运动,它在指标H∈(0,1/2)时的随机分析,建立一些广义的Ito公式。首先,介绍一些关于次分数布朗运动的预备知识并建立了几个技术性的估计式;然后,定义了次分数布朗运动的广义二次协变差[f(SH):SH](W),通过构造一个新的Banach空间H,证明了[f(SH),SH](W)在L2中存在只要f∈H,并建立了广义Ito公式(Follmer-Protter-Shiryayev公式) 其中F是绝对连续函数,其一阶导数F'=f∈H。最后,我们研究关于局部时的空间积分在L2中的存在性同时也建立了次分数布朗运动的Bouleau-Yor型等式和Tanaka公式: 第六章主要研究另一类重要的Hermite过程——Rosenblatt过程的逼近问题。我们利用平方可积的鞅差序列{ζ(n)=(ζi(n),Fin)1≤i≤n,n≥1},通过构造一个新的随机过程Zn,证明了当n趋向于无穷时,随机过程Zn依分布收敛到Rosenblatt过程Z。 在第七章中,我们主要研究由N-维分数布朗运动与N-参数分数布朗单相互迭代而生成的随机过程,通过一些基本的热方程以及复杂的积分计算,发现它们的概率密度函数与某些偏微分方程之间的关系。


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