分数自吸引扩散的渐近性及其相关分析

【摘要】：本文主要研究由分数布朗运动驱动的线性分数自吸引扩散的离散的表达形式,以及线性分数自吸引扩散模型中参数的估计及其相关分析。所谓自吸引扩散就是指如下随机微分方程的解：这里Bl是一个标准的布朗运动,Φ是一个满足一定条件的Borel可测函数.后来,对布朗运动的研究进入了分数布朗运动的领域。Cranston和Lejan对这个模型进行了延伸扩展,并且引入了自吸引扩散,在此基础上,根据分数Brownian运动的特性,Yan等人考虑了由分数Brownian运动BH驱动的如上方程,称其解为分数自吸引扩散。并详细探讨了它的一个特殊情形—线性分数自吸引扩散其中a0,V∈R并且1/2H1。 我们首先考虑了怎样得到线性分数自吸引扩散模型的离散表达形式。因为聚合物的形状是离散变化的,一个离散的模型对于刻画聚合物的形状有着更好的实际意义。利用分数布朗运动的性质和Donsker定理,我们得到了线性分数自吸引扩散模型的离散表达形式： 为了保证得到的形式有意义,我们证明了该离散形式的收敛性和弱收敛性。 其次,我们又对线性分数自吸引模型中的参数a进行了估计。参数a的存在对我们应用模型制造了很大的困难,所以得到一个好的估计量有很大的意义。首先我们采用极大似然估计法,得到了a的极大似然估计量 接下来我们又对这个估计量进行了渐近分析,验证了该估计量的一致性,无偏性和中心极限定理。 除了极大似然估计法,我们还采用另外一种常用的估计方法——最小二乘估计法对参数a进行了估计,得到了最小二乘估计量： 然后证明了该估计量的渐进性。