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Rosenblatt过程的逼近及其相关分析

孙丽雅  
【摘要】:本文主要研究Rosenblatt过程及其更一般的Hermite过程的鞅差逼近.所谓指数为H∈(1/2,1)的k-阶Hermite过程是指由如下积分所确定的过程: Zkh(t)其中W为一个标准布朗运动,而核KH由如下定义:Hermite过程具有以下性质: (1)对任意的c0,(Zkh(ct))和(cHZkh(t))有同分布,知Z是H阶自相似过程; (2)对h0,联合分布(Zkh(t+h)—Zkh(t),t∈[O,T])是独立的,知它有稳定增量; (3)由结合Kolmogorov连续性质,知ZHk有δH阶Hǒlder连续路径; (4)由知过程Z有长相依性;(当H1/2时,fBM和Rosenblatt过程有此性质) (5)协方差函数为: 当κ=1时,它是众所周知的分数布朗运动;κ=2时,Hermite过程被称为Rosenblatt过程.值得注意的是这类过程既不是Gaussian过程也不是Markov过程或半鞅除非H=1/2,即它是Brownian运动,但是它却具有与是Gaussian过程的分数布朗运动完全相同的相依结构! 首先,我们考虑Rosenblatt过程的鞅差逼近,我们证明过程列在n→∞时,弱收敛于Rosenblatt过程ZH的,这里{ξ(n),n≥1}是满足适当条件的鞅差序列. 其次,对于满足适当条件的鞅差序列我们构造了随机过程列的递推累加和 其中,Q(n)(t,i_1/n,...,i_k/n)为:我们证明过程列{Zn,n=1,2,...}在n→∞时,弱收敛于Hermite过程ZH.


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