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《东华大学》 2012年
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几类随机微分方程解的存在与稳定性的研究与应用

吴小太  
【摘要】:随着科学技术的不断发展,人们对描述系统精确度的要求也越来越高。由于现实生活中的系统经常会受到一些不确定因素的影响,所以仅使用确定性的微分方程来刻画系统是远远不够的。近年来,随机微分方程被广泛应用于自然科学,工程技术等众多领域,主要因为使用随机微分方程来建模可以更真实、准确的刻画系统的运行状态。并且方程解的存在唯一性与稳定性一直是人们研究方程的重点与热点。因此研究随机微分方程解的存在唯一性与稳定性是一项非常有意义的工作。 本文主要对几类随机微分方程解的存在唯一性与稳定性进行了研究。首先研究了两类由Levy过程驱动的随机微分方程解的相关性质,然后研究了脉冲随机微分方程以及随机切换系统的稳定性。具体而言,本文的主要工作如下: (1)研究了由Levy过程驱动的具有奇异核的中立随机时滞Volterra方程解的存在唯一性与连续性。由于时滞现象在现实生活中大量发生,所以研究具有时滞的随机微分方程是非常必要的。但对于具有奇异核的随机时滞Volterra方程解的存在唯一性目前还没有这方面的结果。这里研究了由Levy过程驱动的具有奇异核的中立随机时滞Volterra方程解的存在唯一性,路径连续性以及与初值相关的连续性。最后,以具有分数布朗运动核的随机Volterra方程为例验证了所得结果的有效性。 (2)考虑了由Levy过程驱动的具有双干扰的随机时滞微分方程的数值解。对于由Levy过程驱动的具有双干扰的随机微分方程,现有结果主要集中对方程解的存在唯一性的讨论上,然而这一类方程很难给出它的显式解,于是研究这一类方程的数值解就成为了解方程解的形态的一个重要途径。这里先定义了方程的Euler-Maruyama数值解,并在局部Lipschitz条件下证明了所定义的数值解收敛于方程的真实解。最后,在全局Lipschtiz条件下,给出了所定义的Euler-Maruyama数值解收敛于方程真实解的收敛阶数。 (3)使用Razumikhin型方法,研究了具有时滞脉冲的随机时滞微分方程的稳定性。现存文献中关于脉冲随机时滞微分方程稳定性的研究结果都是在假定脉冲无时滞的情况下进行的。但在实际生活中,如果随机微分方程有时滞现象发生,通常接受到的脉冲信号在传输过程中也不可避免的会有时滞现象发生。因此,考虑时滞脉冲影响下的随机时滞微分方程的稳定性是非常必要的。这里给出的结果表明当随机时滞微分方程稳定时,在时滞脉冲的作用下方程的稳定性可以得到加强或减弱。另外,还给出了使得不稳定的随机微分方程在时滞脉冲的作用下指数稳定的充分条件。最后,通过三个例子及数值仿真说明了所得结论的有效性。 (4)利用平均脉冲区间来研究脉冲随机时滞微分方程的全局指数稳定性。现存文献中,有关脉冲随机微分方程稳定性的结果由于证明的需要通常不得不对最小脉冲区间进行一定的限定。但在现实生活中,可能会出现在某一段时间上脉冲非常密集,而在另一段时间上脉冲相对稀疏。所以,对最小脉冲区间进行限定时得到的结果保守性一般较高。这里,通过引入了平均脉冲区间的概念,得出了在一定时间内若脉冲发生次数满足一定的条件时,就可以使得随机时滞微分方程指数稳定。最后,通过两个例子及数值仿真说明了所得结论的有效性。 (5)借助平均暂留时间的概念,研究了具有随机干扰时的切换时滞微分系统的指数稳定性。首先,考虑了当Lyapounov函数在每一个子切换系统上都满足递减性时,给出了切换随机系统满足全局指数稳定性的充分条件。然后研究了当子系统不一定满足在每一个区间上都递减时,即假定当子系统的Lyapounov函数可能在可列个区间上都递增时,给出了时滞切换随机系统p阶矩稳定与全局渐近稳定的充分条件。通过两个例子及数值仿真说明了所得结论的有效性。
【学位授予单位】:东华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O211.63

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