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肿瘤浸润趋化趋触性模型的分析与模拟

王铭军  
【摘要】: 近年来,人们对于肿瘤浸润数学模型的研究兴趣逐年增加(参看文献[7-8,16,18,33,37,40-43,47]),特别是在文献[7]中,Chaplain和Lolas(2005)发展了新的肿瘤浸润数学模型,该模型是关于尿激酶型血纤维蛋白溶酶催化剂(uPA)系统(该系统中含有不同种类的降解酶催化剂)及其在肿瘤浸润生物组织中所起的作用。我们知道,肿瘤浸润的发生是与肿瘤细胞分泌的基质降解酶(MDEs)对细胞外基质(ECM)的降解有紧密关系的。然而,在Chaplain和Lolas模型中,除了肿瘤细胞的随机运动之外,肿瘤细胞的转移还与两种细胞运动机制有关,即:chemotaxis(趋化性机制):细胞倾向于向可扩散的基质降解酶(MDE)的浓度变大的地方运动和haptotaxis(趋触性机制):细胞倾向于不扩散的基质密度增大的地方运动。实际上,早在1970年Keller和Segel就已经提出了古典的chemotaxis模型,Chaplain和Lolas模型是Keller和Segel提出的古典的chemotaxis模型的扩展(参看文献[29])。由此可知,Chaplain和Lolas发展了古典的chemotaxis模型,本文称之为:chemotaxis-haptotaxis模型(参看文献[7,8]),该模型描述了肿瘤细胞、基质降解酶和细胞外基质之间相互作用的动力学。本文主要是研究Chaplain和Lolas模型及其子模型的解的定性性质。 首先,本文研究抛物--椭圆chemotaxis-haptotaxis模型。该模型是一个3×3抛物--常微--椭圆chemotaxis-haptotaxis系统,即这个模型是由三个方程组成:一个方程是抛物型偏微分方程,它描述了肿瘤细胞密度在chemotaxis和haptotaxis的机制下的动力学;一个方程是椭圆型偏微分方程,它描述了蛋白水解酶浓度的动力学;还有一个方程是常微分方程,它描述了细胞外基质密度在蛋白酶水解作用下的动力学。在三维空间,当μ>0(μ是肿瘤细胞的logistic增长率)充分大时,通过从L~1(Ω)到L~2(Ω)再到L~4(Ω)来抬高解的先验估计的正则性,我们证明了该系统的全局古典解的存在性、唯一性和一致有界性;在二维空间,通过L~1(Ω)→L~3(Q_T)→L~2(Ω)→L~4(Q_T)→L~3(Ω)的新的L~P估计技术,抬高解的先验估计的正则性,我们证明了,对于任何μ>0,该系统解的存在性、唯一性和有界性。在研究中,我们发展了一些新的L~p估计技术。以上提到的Ω## R~d(d=2或3)是一有界区域,而Q_T=Ω×(0,T)。 接下来,我们研究了抛物一抛物chemotaxis-haptotaxis模型。该模型是一个3×3抛物--常微--抛物系统,也由三个方程组成:一个方程是描述肿瘤细胞密度变化的反应--扩散--趋化趋触性抛物型偏微分方程;另一个方程是描述蛋白水解酶浓度变化的反应--扩散抛物型偏微分方程;还有一个常微分方程描述的是细胞外基质密度在蛋白酶水解作用下的变化。对于该模型,我们做了以下研究工作:在一维空间,对任何chemotaxis系数x>0,我们证明了组合的chemotaxis-haptotaXis模型古典解的整体存在性和唯一性。在三维空间,当μ>0充分大时(其中,μ是肿瘤细胞的logistic的增长率),我们证明了该模型解的整体存在性。而对于二维空间,对于任意的μ>0,该模型的整体解均存在(证明已经在文献[42]中给出)。此模型证明的关键点是要从L~1到L~P(p>3)抬高解的正则性。 同时,我们还要特别指出的是:对于3×3抛物--常微--椭圆的肿瘤浸润chemotaxis-haDtotaXis系统的研究方法是有别于3×3抛物--常微--抛物的肿瘤浸润chemotaxis-haptotaxis系统的。它们之间有两个主要的区别:首先,前者的解比后者的解关于时间t有更弱的正则性,这是由于前者含chemotaxis因子项受到一个椭圆方程的控制。因此,在证明抛物--常微--椭圆系统的古典解的局部存在性时,有别于抛物--常微--抛物系统的证明,我们需要仔细地选择映射空间X_M和映射函数F。其次,文献[42]和本文对于证明古典解的整体存在性的基本思想都是抬高解的估计的正则性。但是,本文的抛物--常微--椭圆系统是从L~1(Ω)到L~3(Ω)抬高解的正则估计,而文献[42]是从L~1(Ω)到L~3(Ω×(0,T))抬高解的正则估计。本文的抛物--常微--抛物系统和抛物--常微--椭圆系统以及文献[42]中的L~p技术也是各不相同的。除了在上面提到的假设条件下解的整体存在以外,对于抛物--常微--椭圆系统,在同样的假设条件下还证明解是一致有界的。当然,我们应该指出:关于文献[42]和本文的抛物--常微--抛物系统的解的有界性仍然是有待解决的问题。 最后,我们要对简化的chemotaxis-haptotaXis模型的爆破性进行了数值模拟分析。从上面的证明结论我们知道,在三维空间,对于充分大的μ>0,该模型是存在全局古典解的;而当μ>0充分小时,模型的整体解是否存在,据我们所知,到目前为止,在理论上仍然没有证明。但是,利用隐式有限差分格式对简化了的chemotaxis-haptotaxis模型进行数值模拟的过程中,我们发现对于充分小的μ>0,该系统模型的解存在爆破的现象。


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