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《上海应用技术大学》 2016年
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线性分数阶振动系统的分析与模拟

黄灿  
【摘要】:在振动力学里,许多阻尼尤其是粘弹性阻尼,其阻尼力往往与位移的某一分数阶导数成正比,这时就有必要引入分数阶本构关系来研究振动系统的特性。本文是在经典振动力学的基础上,引入分数阶本构关系,探讨各种振动现象,对振动的基本规律进行研究。论文在第1章说明了本课题的来源、研究目的和意义,介绍了分数阶理论的起源和发展,以及它需要的基础理论。论文第2章研究了周期激励下单自由度分数阶振动系统的稳态响应,得到了等效刚度系数和等效阻尼系数,分析了分数阶导数项对刚度和阻尼的影响。得到振幅放大因子和相位角,考虑了分数阶阶数和系数对振幅和相位角的影响。并且提出了用复指数的傅立叶级数形式表示周期激励的新方法,得到周期激励下的稳态响应。论文第3章研究了单自由度分数阶振动系统的瞬态响应,使用Laplace变换及复杂的反变换积分公式对稳态响应进行了详细分析,得到用基本解表示的瞬态响应方程。基于柯西定理和留数定理,得到基本解的方程,讨论了基本解的渐近性。考虑了对于特定的系数和分数阶阶数时,基本解的零点的个数和最大零点,研究了其规律。论文第4章研究了周期激励下多自由度分数阶振动系统的稳态响应,得到振幅和相位角,考虑了分数阶阶数对振幅和相位角的影响。并且使用第2章中的新方法,得到周期激励下的稳态响应。论文第5章研究了多自由度分数阶振动系统的瞬态响应,使用Laplace变换和反变换积分公式对瞬态响应进行了分析,得到用基本解表示的瞬态响应方程,利用Mittag-Leffler函数得到了基本解的方程,讨论了基本解的渐近性。
【关键词】:粘弹性阻尼 分数阶振动 傅立叶级数 Laplace变换 Mittag-Leffler函数
【学位授予单位】:上海应用技术大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O172;TB53
【目录】:
  • 摘要5-6
  • ABSTRACT6-8
  • 符号说明8-11
  • 第1章 绪论11-17
  • 1.1 课题来源、研究目的及意义11-12
  • 1.1.1 课题来源11
  • 1.1.2 研究目的11
  • 1.1.3 理论意义及实际应用价值11-12
  • 1.2 研究现状及发展动态12-13
  • 1.3 与分数阶微积分相关的数学工具13-14
  • 1.3.1 Γ函数13
  • 1.3.2 拉普拉斯(Laplace)变换和卷积13-14
  • 1.3.3 Mittag-Leffler函数14
  • 1.4 分数阶导数定义14-15
  • 1.4.1 Grunwald-Letnicov定义14-15
  • 1.4.2 Riemann-Liouville定义15
  • 1.4.3 Caputo定义15
  • 1.5 分数阶微分方程的数值算法15-16
  • 1.6 本文主要工作16-17
  • 第2章 周期激励下单自由度系统的稳态响应17-31
  • 2.1 谐波激励下的响应18-23
  • 2.2 周期激励的响应23-25
  • 2.3 算例分析25-29
  • 2.4 本章小结29-31
  • 第3章 单自由度系统的瞬态响应31-42
  • 3.1 经典的振动方程31-33
  • 3.2 单自由度分数阶振动方程33-40
  • 3.2.1 解的一般形式33-34
  • 3.2.2 基本解的表示34-35
  • 3.2.3 f_1(t)留数的计算35-37
  • 3.2.4 f_2(t)积分简化37-38
  • 3.2.5 基本解和渐近性38-39
  • 3.2.6 零点个数和最大零点值39-40
  • 3.3 本章小结40-42
  • 第4章 周期激励下多自由度系统的稳态响应42-58
  • 4.1 谐波激励下的响应42-46
  • 4.2 周期激励的响应46-50
  • 4.3 算例分析50-56
  • 4.4 本章小结56-58
  • 第5章 多自由度系统的瞬态响应58-62
  • 5.1 多自由度分数阶振动方程58
  • 5.2 解的一般形式58-59
  • 5.3 基本解的表示59-61
  • 5.4 本章小结61-62
  • 第6章 总结与展望62-64
  • 6.1 全文总结62-63
  • 6.2 论文主要创新点63
  • 6.3 本文不足与展望63-64
  • 参考文献64-69
  • 致谢69-70
  • 攻读学位期间所开展的科研项目和发表的学术论文70

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