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《华东师范大学》 2012年
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最优控制和图像处理问题中的区域分解算法与并行计算

常慧宾  
【摘要】:随着科技的进步,越来越多的领域提出了对大规模并行计算的要求.比如在航空航天,地球物理,药物设计,纳米材料,卫星遥感等等复杂系统在各种现实条件下的形态和行为做出精确模拟和预测.这些需求的出现和增长,催生了计算机硬件的快速发展.而如何使用超级计算机来解决现实中的大规模计算问题成为当前日益关注的问题.在数值计算领域,适用于大规模计算的并行算法的研究就变得非常必要.一个好的并行算法,必须具备稳健的性质,能够实现长时间大规模的模拟计算.同时,该算法需要具有很好的加速比和加速效率,具备良好的扩展性.而区域分解算法,恰恰具备以上的特性.在本文中,我们主要研究了在图像处理中的非线性变分问题和最优控制领域的区域分解算法和并行实现.这两类问题在图像处理领域和实际工程计算问题中有大量应用.因此如何高效并行求解,是迫切需要解决的问题.对这两类问题,我们主要做了如下的工作. 首先是关于偏微分方程约束的最优控制问题的区域分解算法,我们考虑了如下几类算法: 1.1椭圆方程约束的最优控制的施瓦兹交替梯度投影算法.实现重叠区域算法的可控性,即在内迭代有限步停止迭代.我们给出了施瓦兹交替梯度投影算法.该算法包括两层迭代,内迭代采用施瓦兹交替法来求解状态变量的偏微分方程,外迭代采用梯度投影方法求解控制变量.我们得到了算法的收敛性和收敛速度,同时给出了合适的内迭代次数的上界.采用给出的内迭代次数,有效地节省了计算量,同时保证了算法的整体收敛性. 1.2对椭圆方程约束的最优控制时分布受限非重叠区域分解算法.我们考虑了Robin型的非重叠区域分解算法,同时把求解等价的变分不等式系统转化到求解子区域上的变分不等式系统.更进一步,我们可以通过选取合适的松弛参数来获取最优的收敛速度.这是在理论上首次得到区域分解算法求解非线性系统的收敛速度. 1.3对椭圆方程约束的最优控制时积分受限非重叠区域分解算法.不同的限制集对区域分解算法有较大的影响,有些可以直接并行,有些不可以.1.2的工作是建立在满足相容性条件的控制受限的约束集上的.我们提出了更一般约束集下面的Robin型区域分解算法,同时得到了算法的收敛性. 针对图像处理中的非线性变分问题,主要是基于ROF模型的相关能量极小化问题,我们有如下的工作. 2.1针对图像处理中的Rudin, Osher和Fatemi (ROF)模型,我们研究了其对偶模型的区域分解算法.首先我们采用稳定的单位分解来分解不等式约束,在此基础上构造了连续子空间和并行子空间校正算法.更进一步,我们分析了算法的收敛性,得到了O(n-1)的收敛速度,其中n为迭代次数.据我们所知,这个结果是区域分解在图像处理领域应用中首次得到的. 2.2非局部总变差模型利用了更多的平均信息,所以也就需要比ROF模型更多的计算量,有效地实现并行计算非常必要.基于Xu, Tai和(?)Wang [96]的工作,我们采用连续子空间校正算法将问题转化成子区域上的问题.对每个子问题,我们采用Bregmanized算子分裂算法来求解.数值试验显示,该算法成功实现了图像去噪,图像去模糊以及图像修复.最后的并行算例展示了算法良好的加速比和加速效率.
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O232;O175.2

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【参考文献】
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