对流扩散方程最优控制问题中线性方程组的预处理算法

【摘要】：本论文主要讨论对流扩散方程最优控制问题中线性方程组的数值求解.对此类问题进行求解时,需要将解优化过程和解状态方程统一结合起来.目前主要的处理方法有先离散后优化和先优化后离散两种途径.无论采用哪种方法,最后都需要求解一个大规模的线性方程组.对于这样的大规模线性方程组,我们通常采用Krylov子空间迭代方法进行求解.当系数矩阵的条件数或谱分布比较差时,迭代法(如：共轭梯度法,广义最小残量法等)可能收敛会很慢,有时甚至会不收敛.为了改善迭代法的收敛性质,我们可以采用预处理技术.在科学计算领域中,预处理是当今开发有效求解器的关键技术之一,好的预处理子不仅能够提高迭代算法的收敛速度,还可以改善算法的稳定性. 对流扩散方程最优控制问题通过先离散后优化和先优化后离散方法处理后,将分别产生两类不同的线性方程组,其中一类是对称的,而另一类是非对称的.本文主要讨论这两类线性方程组的预处理方法.具体工作如下： (1)对于先离散后优化的情形,我们分别讨论了当正则化参数较小时和正则化参数较大时的预处理子选取问题,包括块对角,块三角和约束型预处理子的构造.在此基础上,我们提出了两类新的预处理子. (2)对于先优化后离散的情形,我们给出了相应的块对角和块三角预处理子,并提出了一类基于不完全分解的新预处理子. (3)利用系数矩阵的特殊结构,我们对原线性方程组进行了降阶处理,将其转化为一个等价的但规模较小的线性方程组,然后讨论了其预处理方法. (4)最后,我们对提出的预处理子进行数值试验,验证了这些预处理方法的有效性.