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高中生初等几何变换思维水平研究

陶磊  
【摘要】:本研究主要关注高中生初等几何变换思维水平以及不同水平学生的解题特征。根据范希尔夫妇提出的几何思维水平的五水平分析法,通过对近几年高考题目,教材中几何变换、解析几何有关章节的梳理,本研究设计了一套《高中生初等几何变换思维水平测试卷》。问卷包括11道题目,对范希尔理论中的前四个水平,以抛物线为载体,重点对平移、旋转和反射这三种初等几何变换进行考察。本研究选择了上海市一所市重点高中的两个班级和一所区重点高中的两个班进行测试,其中预测试在市重点中学的一个班级进行,正式测试在其它三个班级进行。根据预测试的结果,参考“专家观点”,对测试卷进行了修改,最终形成了正式测试卷。通过对参加正式测试的123名被试回答结果进行定量分析,本研究针对研究问题分别得出了以下主要结论: 1.学生对于抛物线的直观认识的特点为:非封闭曲线,即曲线有“开口”;曲线具有较明显的对称性,若截取抛物线的非对称一部分,则会对学生的判断产生较大的影响;曲线在顶点处是平滑的。80%以上的学生能够清楚的掌握抛物线的概念(函数角度或几何角度);学生对在平面直角坐标系中开口朝上和朝右的抛物线解题方法具有一定的思维倾向性;在回答错误的被试中,较集中的体现出对于二次曲线的整体关系有模糊性,同时对方程的曲线作图不严谨。 2.学生判断两条抛物线能否通过平移变换相互转化,主要依靠顶点坐标。90%以上的学生对于平移变换能够达到描述、分析水平,且这之中超过一半的学生能够达到更高的抽象水平甚至是形式演绎水平。学生判断两条抛物线能否通过反射变换相互转化,主要依赖抛物线的对称轴、两条抛物线是否有公共点、顶点位置这三条性质。在85%已经具备反射变换的描述、分析水平的被试学生中,有不到三分之一的学生具备反射变换的抽象水平。学生对于旋转变换的理解和描述是三种初等变换中最差的一个,主要问题集中在概念的模糊、旋转中心的“思维定势”以及以曲线外一点为旋转中心时的想象力缺乏。约90%的被试学生能够对旋转中心在原点、顶点在特殊位置并且旋转角为特殊角的旋转变换达到描述、分析水平。 3.在所有能够完整的完成测试的94名被试中,55.3%的学生能够达到形式演绎水平,这部分样本中有些甚至已经具备更高的思维水平;处于抽象、关系水平的样本占36.2%,他们习惯单纯从图形观察、逻辑推理来解决几何变换的问题,依赖“套用”公式来处理几何证明;处于描述、分析水平的被试只有5.3%,制约他们几何变换思维水平的发展的因素比较重要的是将平移、旋转、反射这三种几何变换看作是相互间独立的,对性质只有宏观的认识;处于直观水平的被试只有3.2%,对于平移、旋转和反射变换,他们只是将其看作是不同的图形间的运动结果。 4.几何变换思维水平与其平时成绩特别是解析几何阶段测验成绩在0.05水平上显著相关。这种显著的相关性证实了几何思维的进化过程中,不可能完成从较低水平跨越一个或多个阶段而直接达到较高的思维水平。学生的几何变换思维水平与性别无显著的相关性。


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