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矩阵不等式、项秩及子空间之间的夹角

张云  
【摘要】:本文研究了半正定分块矩阵、压缩矩阵、增生-耗散算子矩阵、非负矩阵的谱半径、矩阵的实部与虚部、矩阵的和与其绝对值的和、矩阵的项秩以及子空间之间的夹角与极小夹角的几个问题.本文的工作分为以下几部分: 1.建立了半正定分块矩阵与各块子矩阵之间特征值(奇异值)的优超关系.这些优超关系推广了Furuichi与Lin, Turkmen, Paksoy和Zhang,以及Lin和Wolkowicz的结果. 2.研究了严格压缩矩阵的奇异值不等式,给出了严格压缩矩阵的Lewent型奇异值的弱对数优超不等式.Lin的关于严格压缩矩阵的Lewent型行列式不等式是其中一种特殊情形. 3.研究了增生-耗散算子矩阵的酉不变范数,回答了Lin和Zhou提出的一个公开问题. 4.研究了非负矩阵的Hadamard积与普通乘积之间的谱半径的关系.首先给出Huang关于非负矩阵的谱半径不等式的新证明;其次证明了非负矩阵Hadamard积的Cauchy-Schwarz不等式;最后,将Audenaert关于非负矩阵的Hadamard积的谱半径的不等式推广到任意多个的情形,从而改进了Huang的不等式. 5.指出了在Marshall, Olkin和Arnold的专著中关于矩阵实部的特征值的一个结果的漏洞,给出了它的修改后的版本.同时,给出关于矩阵实部和虚部的奇异值的不等式,并通过数值例子说明这些不等式中的常数因子是最佳的. 6.研究了矩阵的和与其绝对值的和之间的酉不变范数不等式.我们给出了有限个正规矩阵的和与其绝对值的和的奇异值的弱对数优超关系.作为应用,推广了Zhan,Bourin和Uchiyama的相关结果.此外,我们证明了下面的结果:设A和B为复矩阵.则||A+B||≤2|||A|+|B|||1/2|||A|(?)|B|||1/2,对于任何酉不变范数‖·‖成立.该结果蕴涵了Lee的不等式.进一步地,我们通过数值例子说明该不等式中的常数因子(?)2是最佳的. 7.研究了矩阵的项秩和非零元的个数之间的关系.确定了给定项秩的一般(0,1)-矩阵中含有1的个数,对称(0,1)-矩阵中含有1的个数和主对角线为零的对称(0,1)-矩阵中含有1的个数,并且确定了给定项秩中那些取到最多1的个数的矩阵. 8.刻画了子空间之间的夹角等于极小夹角的那些子空间对.同时,刻画了那些子空间之间的夹角为π/2的子空间对.给出了J.K.Baksalary关于正交投子的可交换性结果的一个推广


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