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《华东师范大学》 2016年
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几类非光滑动力系统的研究

陈华雄  
【摘要】:本文针对几类非光滑动力系统进行了研究.主要包括:一类脉冲微分方程的多尺度研究;几类非光滑奇摄动方程的空间对照结构的研究.本文的主要内容分为以下几章.第一章为绪论.主要回顾了奇摄动问题和非光滑动力系统的历史背景和发展过程,引入了与本文研究内容相关的一些概念和定理,同时也介绍了本文的工作及创新之处.第二、三章对一类脉冲微分方程进行多尺度的研究.脉冲微分方程充分考虑到瞬时突变对状态的影响,其解往往是分段连续的,解的这种特性给脉冲微分方程的研究带来了困难与不便.为此,利用奇摄动的思想,通过引入适当的奇摄动项,这两章分别将原脉冲微分方程扩充成具有无穷大初值的奇摄动问题和临界奇摄动边值问题,构造了相应奇摄动问题的连续/光滑的多尺度渐近解来有效地刻画原脉冲微分方程的不连续解,同时也论证了渐近解的一致有效性,从而为脉冲微分方程的研究提供了一种新的途径.第四章研究了非光滑的二阶半线性奇摄动方程的空间对照结构.在区间内的某点t处改变方程的右端函数,从而导致了附加方程平衡点类型的变化,使得左区间可能出现脉冲状的空间对照结构解,右区间可能出现阶梯状的空间对照结构解.通过相平面,分析了整个区间上解存在的可能类型.利用边界层函数法,构造出左区间脉冲状解和右区间阶梯状解的渐近表达式,同时也确定产生脉冲状解和阶梯状解的点的渐近表达式.而在t点处:运用缝接法,对解进行光滑缝接.最后证明了整个区间上解的存在性和渐近解的一致有效性.第五章研究了带慢变量的非光滑拟线性奇摄动方程组的空间对照结构.利用边界层函数法构造了该问题的形式渐近解,用缝接法对解轨道进行光滑缝接,在整个区间上证明了形式渐近解的存在性和一致有效性.第六章研究了具有快慢层的非光滑奇摄动方程的空间对照结构.不同于前面的奇摄动方程的边界层具有相同的类型(尺度变化一样),本章所考虑的奇摄动方程的边界层具有不同的类型,即出现快慢层.主要包括:快慢层出现在不同端点处和快慢层出现在同端点处.在快慢层处,通过引入不同的尺度变化,分不同区间构造了问题的形式渐近解.在整个区间上,利用缝接法,得到了解的存在性和渐近表达式,同时也论证了渐近解的一致有效性并进行了余项估计.最后,总结本文的工作,并提出下一步的研究计划.
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O19

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