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若干非局部和非线性问题的数值方法

李政  
【摘要】:随着科学和工程技术的发展,越来越多的领域提出了对复杂问题高性能数值计算的要求.比如对于机械工程、材料科学、航空航天和卫星遥感等在各种实际条件下的形态以及行为做出更精确的模拟及进一步的预测.对这些复杂系统做更精确的模拟则需要更复杂的如非局部和非线性的抽象模型,比如不满足Fick定律的反常扩散现象在自然科学和社会科学中是大量存在的,需要采用具有历史依赖和非局部性质的分数阶微分算子来进行模拟.这些非局部和非线性复杂模型在数值求解时又往往会形成一个大规模且稠密的离散系统,如何快速求解这样的大规模问题或者降低问题的规模成为当前日益关注的问题.下面介绍本文的工作.第一部分、分数阶微分方程的相关模型及其数值方法与应用在自然现象中,不混溶的液相、液相与气相、气相与固相、以及液相与固相是普遍存在的.不混溶相的界面动力学在多相系统的形成与相变机制以及演化中起着非常重要的作用,但是在建模和数值求解计算上都是一项非常困难的任务.有效描述多相系统的可计算数学模型的发展和相应的有效且高效的数值方法已经成为多相系统研究中的主要挑战.另一方面,由于分数阶微积分具有的历史依赖与非局部的特性比较适合诸如反常扩散中的记忆和非局部等性质,因此分数阶方程比整数阶方程更能有效的描述这些复杂系统.随着涉及的应用领域越来越多,分数阶微积分方程的研究逐渐成为一个新的活跃领域.在理论分析和数值模拟等多方面,分数阶方程为描述复杂现象提供新的视角和工具,但同时带来了很多新的挑战.我们考虑了如下的几个问题:1.相场模型的分数阶建模与快速算法·时空分数阶Allen-Cahn模型及其数值算法.Allen-Cahn模型可以用于描述如凝固及结晶等物理问题中多相变化过程,通过将经典模型中的拉普拉斯算子替换为分数阶拉普拉斯算子可以在界面厚度参数较大的情况下能够灵活地控制调节界面锐度来更精确地跟踪界面演化,同时还引入时间分数阶导数来描述模型的长时间记忆或延迟效应.我们提出了一个预条件的快速及节约存储的数值格式,计算量由直接解法的O(NV3)降至O(NVlogN),存储量由O(NV2)降至O(N),可以快速地求解大规模系统.并且初步研究了时空分数阶参数的变化对该模型的锐度和延迟效应的影响,数值实验验证了该模型具有良好的建模能力可以更好地跟踪界面演化.·空间分数阶Allen-Cahn模型及其二阶无条件能量稳定的数值算法.由于模型中包含的非线性势函数项和分数阶微分算子导致的复杂性,尚未有文献提出具有严格证明的无条件能量稳定的高效且精确的数值计算格式.而我们采用不变能量二次化方法,引入辅助变量来保证自由能密度是一个不变的二次泛函,得到等价模型,通过半显式处理非线性项,构造了一阶和二阶半离散格式,其方程组由每个时刻上的线性分数阶拉普拉斯方程构成,由于系数矩阵算子是对称正定的,从而可以有效求解半离散系统.我们进一步证明采用这种方法所提出的数值格式是无条件能量稳定的,在采用节点配置法进行空间离散得到全离散格式后,通过数值实验验证了该数值算法的稳定性和准确性.2.形状记忆聚合物分数阶建模与算法·形状记忆聚合物的变阶分数阶微分方程模型及其数值算法.形状记忆聚合物能够记忆其原始形状,可以在形变时获得暂时形状并且响应外部刺激而恢复到其永久形状.描述其形状记忆效应的早期模型是结合描述理想固体的胡克定律和描述理想流体的牛顿粘性定律得到的,而考虑到形状记忆聚合物的形状可以响应外部刺激温度的波动而产生巨大的变化,并反应在其微观网络结构上,因此变阶分数阶微分方程模型更适合描述形状记忆效应.对于该模型我们构造了数值格式求解给定可变阶数的正问题,而由于实际中可变阶数的未知性,我们还研究了其反问题,即通过物理数据来确定可变阶数,并通过自适应方法保证其精度.数值实验验证了模型的模拟效果及数值格式的有效性.第二部分、最优控制问题及其数值方法最优控制问题可以概括为:对一个受控的系统,从已有的控制方案中找出一个最优的控制方案,使得目标性能指标值达到最优.在一定的条件下,投入最少的成本,获得最大的收入和利益,这普遍存在于工程、金融、医药等众多实际应用领域的模型中.本文中我们研究了带有点态控制受限的受椭圆偏微分方程约束的最优控制问题的自适应有限元方法.·自适应有限元方法具有诸多优点,能够根据局部误差指示子自动判断并在误差最大处进行加密,提高了计算精度和效率,以及通过误差估计给出计算结果的误差范围等.最优控制问题自适应有限元方法的收敛率理论分析较少,而且已有算法需要外层自适应加密迭代和内层求非线性问题迭代两层迭代,对于内迭代的误差及大量的计算工作在于反复求解非线性问题等方面没有考虑.我们采用变分离散方式离散控制变量以及分片线性连续函数逼近状态变量,提出了一个收敛并节省计算量的自适应有限元算法,该算法仅含一层加密迭代,即内层非线性迭代仅需迭代一次,有效地节省了计算量.基于对该问题的后验误差估计以及数据振荡的缩减,得到了算法的整体收敛性并证明其具有线性收敛速率,并通过一些数值实验验证了理论结果.


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