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《华东师范大学》 2018年
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边染色超图的划分和覆盖问题研究

王兵  
【摘要】:图(超图)的划分和覆盖是属于图论的Ramsey理论的一类经典问题.它包含两个子问题:一、在一个任意的r-边染色完全图(超图)中我们一定能够找到最多包含多少个顶点且具有特定结构的单色子图(超图)?二、需要至少多少个特定类型的单色子图(超图)就一定可以覆盖一个任意r-边染色完全图(超图)的所有顶点?该类问题在图的层面结果很多,然而在超图中相应的结果很少,甚至在2-边染色一致完全超图中,基本的路和圈划分和覆盖以及相关的Ramsey数问题也没有得到完全解决.本论文主要研究边染色一致超图的线性路和线性圈划分和覆盖问题.在此基础上研究边染色一致完全超图的?-路和?-圈以及其他子图的划分和覆盖问题.本论文分为以下五个章节.第一章我们介绍了一些基本概念和定义,比较全面地介绍了与本论文相关的边染色图划分和覆盖的已知结果和重要猜想.第二章我们介绍了边染色超图的基本概念,给出了边染色超图划分和覆盖的相关结论.并重点研究了2-边染色k-一致完全超图线性路划分和覆盖问题.这一问题源于2013年Gy′arf′as和S′ark¨ozy提出的如下猜想.猜想:每个2-边染色k-一致完全超图Kk n一定存在两条顶点不交且颜色不同的单色线性路覆盖Kk n中至少n-k+2个顶点.Gy′arf′as和S′ark¨ozy说明了如果猜想成立,则该结果对充分大的n是紧的.Gy′arf′as和S′ark¨ozy证明了每个2-边染色k-一致完全超图Kk n一定存在两条顶点不交且颜色不同的单色线性路覆盖Kk n中至少n-2k+5个顶点.该结果表明猜想对k=3是成立的.我们证明了一个比Gy′arf′as和S′ark¨ozy提出的猜想更强的结论.定理.设k≥3为任意正整数.对每个2-边染色k-一致完全超图Kk n而言,如果n=r(k-1)+2对某个非负整数r成立,则V(Kk n)可以划分成两条不同颜色的单色线性路.基于这个结论,我们自然地考虑如下的覆盖问题:对任意一个2-边染色Kk n,我们是否可以找到两条不同颜色的单色线性路(不必顶点不交)覆盖V(Kk n)满足这两条路相交的顶点数尽可能少?我们得到了如下2-边染色k-一致完全超图的线性路覆盖结果.定理.设k≥3为任意正整数.对任意2-边染色k-一致完全超图Kk n,它的所有顶点可以由两条不同颜色的单色线性路覆盖使得这两条路至多共用k-2个顶点.这个结果是紧的.第三章我们介绍了单色线性圈划分和覆盖的现有结果.我们猜想:对k≥3和任意的2-边染色k-一致完全超图Kk n,V(Kkn)可以由两个不同颜色的单色线性圈(不必顶点不交)覆盖.我们证明了k=3时,该猜想是成立的.定理.设K3n是一个2-边染色3-一致完全超图.则V(K3n)能被两个不同颜色的单色线性圈覆盖满足这两个圈至多共用2个顶点.第四章我们考虑了边染色完全超图的?-路和?-圈覆盖和划分问题.我们提出如下猜想:设s≥0,k≥3为两个任意的正整数,如果n=s(k-?)+2?,则2-边染色k-一致完全超图Kk n的所有顶点可以划分成两条不同颜色的单色?-路.我们证明了当?|k或?≤k3时,该猜想是成立的.定理.设?,s,k为任意的三个正整数且?≤k3.如果n=s(k-?)+2?,则2-边染色k-一致完全超图Kk n的所有顶点可以划分成两条不同颜色的单色?-路.第五章我们对本论文进行了简单的总结,提出了以后要进一步考虑的主要问题.
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O157.5

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