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分数阶微分方程约束优化问题的预处理方法

洪丹  
【摘要】:分数阶微分方程约束优化问题是指带有分数阶微分方程的约束优化问题.在某些应用中,分数阶微分方程比传统的整数阶微分方程更能准确和真实地反映复杂系统的变化过程.但由于分数阶微分算子的非局部性,导致离散后的代数方程的系数矩阵往往是稠密的,这给数值求解带来了很大的困难.所以研究分数阶微分方程约束优化问题的快速求解方法是很有必要的.本文主要研究的是求解带有空间分数阶微分方程约束的优化问题的预处理方法.借助变分方法,原问题可转化为状态方程,协态方程和最优性条件的耦合线性系统,然后再利用梯度投影算法来求解.经过CN-WSGD差分格式离散后,我们需要求解一系列的离散状态方程和协态方程.为了提高求解效率,我们需要研究高效的预处理方法.本文具体工作如下:(1)基于系数矩阵的特殊结构,我们构造了一类近似逆预处理子,并证明了近似逆预处理子是系数矩阵的逆的一个很好的近似.(2)为了降低计算矩阵的逆所带来的繁重运算量,我们用循环矩阵来近似其中的Toeplitz矩阵,并证明了新的近似逆预处理子与系数矩阵的逆的差可写成一个小范数矩阵与一个低秩矩阵之和.(3)为了进一步减少运算量,提高计算效率,我们借助插值方法,提出插值近似逆预处理子,并证明了插值近似逆预处理子与系数矩阵的逆的差也可写成一个小范数矩阵与一个低秩矩阵之和.(4)我们对新提出的预处理方法进行了数值测试,以验证其高效性.


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