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《华东师范大学》 2003年
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函数系数和部分线性模型中的估计问题

张日权  
【摘要】: 部分线性模型和函数系数线性模型的理论、方法和应用近一、二十年来有了迅速的发展。由于它们有着丰富的研究内容和广泛的实际应用范围,因而受到人们的极大重视。本论文主要研究函数系数部分线性模型、比例函数系数线性模型,给出了模型中的参数与未知函数的估计方法,并讨论了这些估计的渐近性质。本论文还讨论了部分线性模型的稳健M-估计。以下是各章内容的简要介绍。 第一章简单地叙述了一元非参数回归模型的三类估计方法:局部光滑方法(Local modelling approach),正交级数方法(Orthogonal series approach)和样条方法(Spline approach)。本论文使用局部光滑方法中的局部多项式方法给出未知函数的估计。第一章还讨论了多元回归模型。这里有一个很困难的问题即维数问题。由于维数的增加使得收敛速度相当慢,且估计极不稳定。在统计上将这一现象叫作“维数祸根”(curse of dimensionality)。为了克服维数祸根,人们已提出各种不同模型来降低维数。本论文为克服维数祸根问题,给出了两个变系数模型:函数系数部分线性模型和比例函数系数线性模型。第一章还回顾了稳健M-估计最近的一些发展情况。本论文讨论了部分线性模型的稳健M-估计。样本的独立假设,为数学和统计处理带来了很多方便,有些时候也是合理的。但是在某些实际问题中,特别在经济数据方面,样本并非是独立的观察值,而是相互依赖的。第一章简单地总结了现有的数据混合相依类型。α-混合相依是混合相依中较弱的一种。很多随机过程,包括很多时间序列都能够满足它的要求。本论文除了讨论样本是独立的情况,还讨论了样本是α-混合相依的情况。 本论文的第二章讨论函数系数部分线性模型。Hastie和Tibshirani(1993)提出了变系数模型或称函数系数模型(varying-coefficient models or functional-coefficient models), Y=β_0(X)+β_1(X)Z_1+…+β_p(X)Z_p+ε,其中{β_i(·),0≤i≤p}是一些未知函数;Y是回归变量;X是q维协变量,Z=(Z_1,…,Z_p)~T是p维协变量,ε是期望为0的随机误差。它们提出的变系数模型是一个很一般的模型。由于“维数祸根”问题,在q>1时,这个模型在处理实际问题时不太可行。为此人们往往取q=1,即常数项函数β_0(·)、系数函数β_j(·)(j=1,…,p)均为一元函数,且这些一元函数有相同的自变量。本论文与此不同 华东师范大学博士学位论文归00刃 给出了常数项函数和系数函数具有不同自变量的变系数模型: Y一。(x)+艺岛(u)几 少=l 常假 其中Y〔R是响应变量,X〔几, 数项函数抓·)和系数函数几(.)(,= U任R,Z一 +〔, (21, ·,吞)T〔卿是协变量; 1,…,p)都是从R到R的未知可测函数. 设一独立于/。为了识别模”:不妨假设/脚二z,)一我们称这个 模型为函数系数部分线性模型(funetional一eoeffieient partial linear models)· 函数系数部分线性模型是一个比较一般的模型。若对所有的夕=1,…,p, 马(.)=几,场是常数,它就是部分线性模型.当叭·)=。时,它就是Cai,Fan和 Ya。(2000)提出的变系数回归模型.当对所有的j二1,…,p,巧(.)=0时,它变 成了非参数模型. 在这个函数系数部分线性模型中,或·)和{巧(·),1三夕三对有着不同的自变 量,这给它们的估计增加了难度.我们首先对常数项函数叭·)使用局部线性估计方 法,给出了它的估计;然后对系数函数肠(.)(,=l,…,p),通过应用常数项函数 的估计,使用局部线性估计方法给出其估计.我们称系数函数的这种估计方法为两 阶段估计方法.在数据是独立同分布的情况下,与数据是a一混合相依的情况下, 给出了常数项函数0(.)的估计的弱一致性、一致强相合性和渐近正态性,以及系数 函数巧(.)(j二l,…,p)的估计的弱一致性与渐近正态性.模拟研究显示,这些估 计方法是较为理想的。 本论文的第三章讨论比例函数系数线性模型。为克服维数祸根问题,本论文的 第三章给出了所有系数函数是同一个函数,但具有不同的自变量的变系数模型: } Y=。(X, 饥(x,Z)= Z)+a(X,Z)〔 d 艺Ca(甲)夕(Xa)Za, 其中Y是相应变量;x二(X,,…,Xd)T和z=(21,…,几)T是两个解释变量,x可 能依赖于z,也可能不依赖于z;〔独立于x和z,且E(〔)=0,V盯间二1;o(·,·) 是从RZd到R的一个可测函数;0(.)是从R到R的一个可测函数;仇(的,。=1,…,d 是参数为7的已知函数,守=(7,,…,下)T可能已知也可能未知。为识别模型,不妨 假设C,(7)三1。我们称这个模型为比例函数系数线性模型(proportional funetional- eoeffieient linear models). 华东师范大学博士学位论文归00刃 比例函数系数线性模型可以看成是比例可加模型(proportional additive model 的一个推广,即当x=z时,它就变成了比例可加模型: d Y=艺Ca(:)。(X。)+。(x)。· 进一步,如果d三1,它就变成了非参数模型. 对于比例函数系数线性模型,我们利用两步估计法估计系数函数及其导数.在 参数已知的时候,第一步,用局部多项式估计方法,估计系数函数及其导数,
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2003
【分类号】:O211.67

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【引证文献】
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6 陈秋华;魏军强;;基于最小一乘的一元线性模型中回归系数的一个置信区间及其应用[A];中国现场统计研究会第十三届学术年会论文集[C];2007年
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9 吴晓明;盛元生;王克明;沙云东;李宴喜;;航空结构声疲劳应力的仿真与模式识别[A];2003年中国智能自动化会议论文集(下册)[C];2003年
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2 陈明华;固定设计下半参数回归模型估计的相合性[J];高校应用数学学报A辑(中文版);1998年03期
3 洪圣岩;一类半参数回归模型的估计理论[J];中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学);1991年12期
4 高集体,赵林城;部分线性回归模型中的自适应估计[J];中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学);1992年08期
5 钱伟民,柴根象;半参数回归模型小波估计的强逼近[J];中国科学(A辑);1999年03期
6 唐庆国,王金德;变系数模型中的一步估计法[J];中国科学(A辑:数学);2005年01期
7 孙燕;;变系数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及其性质[J];数理统计与管理;2007年04期
8 叶阿忠;非参数计量经济联立模型的局部线性两阶段最小二乘变窗宽估计[J];数学的实践与认识;2004年01期
9 胡舒合;固定设计下半参数回归模型估计的强相合性[J];数学学报;1994年03期
10 高集体,洪圣岩,梁华;部分线性模型中估计的收敛速度[J];数学学报;1995年05期
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1 卢一强;变系数模型的研究与分析[D];华东师范大学;2003年
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