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《华东师范大学》 2004年 博士论文
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奇异值分解及其在广义逆理论中的应用

郭文彬  
【摘要】:奇异值分解在矩阵理论中有着极其重要的作用,尤其是在广义逆理论的研究中。魏木生教授运用广义奇异值分解这个强有力的工具,非常简明地解决了矩阵理论中的许多极其困难的问题,参见[16,61,63,60,62,64,66]。本文的主要工具是广义奇异值分解。在广义奇异值分解中,其中的非奇异矩阵有多种可能的选择。本文通过分别构造特殊的非奇异矩阵,得到了{1,3}-和{1,4}-逆的反序律,系统地解决了加边矩阵M=的广义逆问题,并给出了分块矩阵关于广义逆块独立的等价性条件。 本文主要分四个部分阐述上面的几个问题。 第一部分是引言。引言分三小节,主要阐述广义逆的历史和部分应用、奇异值分解的发展过程以及本文的主要成果和创新之处。 第二部分研究两个矩阵乘积{1,3}-和{1,4}-逆的反序律。本节在P-SVD中通过构造特殊的非奇异矩阵,详尽地揭示了两个矩阵乘积{1,3}-和{1,4}-逆的结构,从而最终解决了两个矩阵乘积{1,3}-和{1,4}-逆的反序律,并得到了两个矩阵乘积伪逆反序律的一个新的等价性条件。 第三部分研究加边矩阵的广义逆。加边矩阵在矩阵理论中有着非常广泛的用途,之前已经有许多专家、学者研究过这个问题。本文在他们的基础上,系统地研究了加边矩阵有关广义逆的问题。本章所使用的主要工具是QQ-SVD,其中在研究加边矩阵{1,3}-和{1,4}-逆时,又使用了构造特殊非奇异矩阵的技巧,给出了加边矩阵{1,3}-和{1,4}-逆的显示结构,并进一步得到了加边矩阵伪逆的显示结构,获得了许多新的结果。 第四部分研究了分块矩阵广义逆的块独立性。Hall[23]最先研究分块矩阵广义逆的块独立性,随后陈[9,10]和王[59]也分别研究了分块矩阵广义逆的块独立性,其中王[59]在新的定义下研究了分块矩阵关于{1,2}-逆的块独立性。本章在王[59]所给的定义下分别研究了分块矩阵关于{1}-逆和{1,3}-逆的块独立性,并指出了Hall[23]中的定义与王[59]中定义的关系。


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