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一类半线性椭圆方程扰动集与区域维数的研究

魏龙  
【摘要】:设Ω是R~n(n≥2)中的一个有界光滑区域,函数g∈C~α((?)),其中0<α<1,我们考虑下面问题: 其中f满足条件(H):f是C~1类函数,在(-∞,∞)上非负、严格凸,在[0,∞)上单调递增且使得 设集合K={g∈C~α((?)),使得问题(1.1)的解存在}。本文主要研究维数对集合K闭性的影响以及映射g(?)(g)在集合K上的连续性。Shixiao Wang于1990年在[W]中对f(u)=|u|~p,1<p<∞考虑了以上问题,并得出n≤10为最佳估计,即:n≤10时,集合K是闭集;而n>10且p充分大时,集合K未必是闭集。对此,我们考虑了f(u)=e~u这一特殊情形,得到n≤9为最佳估计;在此基础上,我们进一步对f(u)为一般函数(限以适当的条件)时考虑该问题,得到“当n<n~*=6+4(μ~(1/2))时K为闭集”的结果,但这一估计未必为最佳。我们的结论如下: 定理 设f满足条件(H),有二阶导数,且如果n<n~*=6+4(μ~(1/2)),那么集合K是闭集且映射g(?)(g)在K上是连续的。 定理 设f(u)=e~u,a) 如果n≤9,那么K是闭集并且映射g(?)(g)在集合K上是连续的;b) 如果n>9,那么集合K未必是闭集。 摘要·2 本文的结构作如‘卜安排:第一节,给出本文所涉及的符号、概念,介绍对问 题(1 .1)已有的结果和本文的主要结果;我们在第二节中给出了一些引理,这些 引理为证明定理1.3作了准备;在第三节中我们证明了定理1.3;第四节一卜我 们主要处理f(司=产这一特殊情形。


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