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广义逆A_(T,S)~(2)的表示、逼近、迭代法及Drazin逆的应用和测试

张向韵  
【摘要】:线性算子广义逆的表示和计算是广义逆理论中十分重要的研究课题,无论是在理论研究领域还是在实际用中都受到人们的重视(见[1,2,3,9,10,11,12,13,17,21,23,30]等)。国内外许多学者,Adi Ben Israel, K.Kato, M.Z.Nashed, Y.Y.Tseng, J.Ding,匡蛟勋,陈果良,薛以锋,乔三正和魏益民等人在Hilbert空间和Banach空间上的线性算子的Moore-Penrose广义逆,Drazin逆及群逆存在性、性质、表示、逼近、扰动理论、应用和计算理论等方面做了大量的工作,得到了一些很好的结果。但是结果还比较分散,与矩阵的情况形成了鲜明的对比。本文第一部分以算子A_(T,S)~((2))逆为基础,建立常见算子广义逆统一的表示理论和迭代格式,我们给出了Banach空间算子A_(T,S)~((2))逆的极限表示、Neumann型级数表示和积分表示,以及近似的误差估计。基于各种表示,我们构造了计算A_(T,S)~((2))逆的几种迭代格式,如:Neumann级数型迭代法、Newton迭代法、超幂迭代和基于插值函数的迭代法,并且讨论了收敛的条件和收敛的速度。 在第二部分,我们讨论一种加速迭代收敛的技巧,这种技巧最早由B.Condenotti[36]提出,L.Chen, E.V.Krishnamurthy and I.Macleod(1994)[37]和魏益民[38]又把这种技巧应用于M-P逆和Drazin逆的计算。我们推广了这一技巧并把它应用于矩阵A_(T,S)~((2))逆的计算,使得Neumann级数型迭代法的收敛速度由一阶提高到二阶,超幂迭代的收敛速度由p阶提高到2~p二阶,计算量仅仅是原来的两倍。本文讨论的块乘技巧得到了更快的收敛序列,计算量仍与[38]中给出方法同阶,分析表明我们推广的技巧更适合于并行计算。最后我们构造了一种对于Markov链无条件收敛的方法,并把加速收敛技巧也应用于其中,我们还进行了数值试验。 如何评价算法的优劣一直是实际计算工作者关注的问题,以往人们大多是在理论上比较算法的计算量、收敛速度等指标,而对算法在实际计算中的表现关心较少。G.Zielke首先在[49]中讨论了Moore-Penrose广义逆计算的测试问题,在此基础上我们在第三部分讨论矩阵Drazin逆计算的测试问题,介绍了测试矩阵的构造方法,最后利用构造的测试矩阵对几种常见的Drazin逆计算方法进行了测试,列出了测试报告。我们发现对于群逆的计算,指标1幂零分解法、本文构造的QAQ方法以及Neumann级数型迭代法都有较好表现,并且可以处理较大规模的矩阵;Faddeev型方法计算低阶矩阵特别有效,但不能处理50阶以上的矩阵;Newton迭代和超幂迭代计算低阶矩阵效果不错,同样也不能用于50阶以上的矩阵。对于Drazin逆(不包括群逆)的计算,测试结果令人失望,指标的增加大大地增加了计算的难度。


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