二维区域中一类椭圆方程解的集中现象

【摘要】： 本文主要研究二维区域中一类半线性椭圆方程解的集中现象。这种现象大量-出现在化学、物理学和几何学中,研究它对现实生活有着重要的意义。 首先,在第一部分中我们将简单介绍问题的背景、研究现状以及本文的主要工作。 设Ω是R2中的有界光滑区域。在第二、三部分我们考虑一个散度型椭圆方程这里v表示边界aQ上的单位外法向,ε0是小参数,a(x)是区域Ω上的光滑函数且满足条件:0a1≤a(x)≤a2∞。我们主要是考察各向异性函数a(x)对解的存在性和渐近性态的影响。首先,我们给出该问题解的渐近分析,当ε充分小时解可能在边界上出现集中现象,且通过“bubble's separation”技巧得到ε∫■Ωeue在边界上某一点集中的权为2π的整数倍。这一结果推广了[43]中的结论。接下来,在第三部分中我们通过所谓的“localized energy”方法构造出上述高能解的存在性。 在第四部分中,我们考虑sinh-Poisson方程的Neumann问题:通过构造,我们给出该问题一类非平凡解的存在性以及这类解的渐近性态。这些解的涡场(vorticity field)实际上收敛到符号相反的Dirac数值的和,并且奇点就是与Green函数相关的泛函的临界点。 接下来,我们考虑各向异性的sinh-Poisson问题:同第一个问题一样,我们的目的是考察各向异性函数a(x)对“bubble”解的存在性和渐近性态的影响。我们证明了当ε0充分小时存在一族解,该解在给定的a(x)的局部极小值点处正、负集中,准确地讲,我们有ε2a(x)(eue-e-ue)→0.这一结果与[15]和[73]中各向同性的情形(a(x)三Costant)有着很大的不同,且与[115](对应于另一问题)中“在a(x)的极小值点处bubble是单的(simple)”的结果相异。我们仍然是通过“Lyapunov-Schmidt reduction”方法实现我们的目的。 最后,我们对集中现象作一小结,并提出一些可以进一步考虑的问题来结束本文。