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地球流体准地转运动的非线性稳定性原理

蔡景景  
【摘要】: 本文旨在对地球流体准地转运动的非线性稳定性问题进行研究,全文分为三个部分。 在第一部分中,我们简述了准地转运动非线性稳定性的研究背景及一些预备知识。 第二部分讨论了基本态的剪切力与时间无关时的非线性稳定性原理。对于二维的准地转流,重点讨论了β平面上两层的准地转模型,利用构造最小泛函的方法得出在能量、动量及环量约束条件下的最小拟能解。此最小解是平行流或是Rossby波依赖于所考虑区域纬向长度与径向长度的比例。当纬向长度大于径向长度的4.6188倍时,最小的拟能解是Rossby波,但此时有一种情形例外:若动量为零而环量非零,且下层速度与上层速度的比值不为零时,最小解是平行流;反之,当纬向长度小于径向长度的4.6188倍时,解的形式取决于能量与动量平方的比值E/M~2∶当E/M~2小于某一临界值时,最小的拟能解是平行流;当E/M~2大于此临界值时,为有限振幅的Rossby波。 对于三维连续层结的准地转流,特别考虑纬向周期带域上的准地转流。利用变分原理,考虑到动量守恒的额外限制,通过讨论三维空间的一个最小值问题,得到了优化的Poincaré不等式,从而改进了纬向对称准地转流的非线性稳定性定理,重点讨论了此定理在等涡度流体中的应用。对于经典的Eady模型,建立了优于以前判据的非线性稳定性定理,并得到了线性稳定与非线性稳定一致的条件。对于广义的Eady模型,讨论了密度函数是常数函数与指数函数两种情形,分别得到了非线性稳定性定理及线性稳定与非线性稳定一致的条件。对于三维连续层结准地转流的球面坐标形式,通过变分计算,建立了精细的Poincaré不等式,进而得到了优于以前结果的非线性稳定性定理,并建立了关于扰动能量、扰动拟能及扰动边界能上界的精细的显式估计。 第三部分考虑β平面上两层的广义的Phillips模型(即上下表面可以是固壁的也可以是自由的情形),讨论基本态的剪切力是时间的函数时临界值附近的斜压不稳定性。由于增加了自由表面系数,我们发现参数不稳定现象发生很大变化。对于 线性问题,在经典稳定性的临界值附近,无论自由参数α为何值,参数不稳定性使得振幅总是呈现指数增长的趋势。这表明在线性问题的研究中,自由表面系数可以忽略。对于非线性问题,通过选取一个合适的耗散系统,考虑竖直剪切力是时间的周期函数来考察其有限振幅的特征,着重讨论自由表面系数对参数不稳定的影响。将剪切力分超临界、临界与亚临界三种情况讨论,得出在非线性问题的研究中,自由表面系数的影响是不能忽略的。


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